¿Cuáles son tus favoritos ejemplos concretos de límites o colimits que sería calcular durante el almuerzo?

Question

(El título era inicialmente "¿cuáles son tus favoritos ejemplos concretos que usted podría calcular sobre la mesa durante el almuerzo para convencer a un trabajo matemático de que los conceptos de límites y colimits no son tan terribles como podría aparecer?", pero era demasiado largo).

Esta es una pregunta bastante básica que puede ser más apropiado para otro sitio. Sin embargo, los ejemplos que estoy buscando debe apelar a un trabajo matemático. Es por eso que estoy pidiendo aquí.

Mañana voy a almorzar con un matemático de los cuales las nociones de límites y colimits hacer nervioso en general. Él siente que el cálculo de pequeños ejemplos pueden ayudarle a superar su miedo. Más precisamente, lo que está pidiendo son ejemplos de varios pequeños diagramas (incluyendo los de fantasía, por ejemplo, con bucles) en categorías familiares (espacios topológicos, abelian grupos, &c.) cuyo límite o colimit podríamos calcular juntos en el almuerzo, en la esperanza de que iba a conseguir un mejor entendimiento de lo que son los límites y colimits cuando se toman más de diagramas de otro de los pullbacks o pushouts (de la cual ya tiene un sentimiento).

¿Usted sabe de algunos casos particulares de diagramas, en las categorías familiar para el trabajo matemático, cuyo cálculo del límite o colimit parece particularmente iluminador? O, al menos, que podrían ayudar a un nervioso matemático superar su miedo a los límites generales y colimits?

Me podía venir ad hoc ejemplos, pero quizás no hay mejor que eso?

EDIT: lo Siento por la tardanza de edición. Me fui a dormir después de hacer la pregunta y sólo desperté pensando "yo debería haber hecho Wiki de la Comunidad, sumado a una gran lista de etiquetas y proporcionó más detalles". Gracias por las respuestas hasta ahora. (Por cierto, yo mismo no estoy seguro de hasta qué punto esta pregunta es apropiado para el MO, pero si los tres votos para cerrar podría ser explicado brevemente me gustaría, sin embargo agradezco.)

Los ejemplos que se debe apelar a un matemático que trabaja en la geometría y la topología. Por algunas razones por las que él realmente quisiera concreta de realizar los cálculos. Parece que él se ha enfrentado con la siguiente situación (a la que yo nunca he tenido que hacer frente; que es la razón por la que voy a plantear aquí, en la esperanza de que alguien ya ha estado en la misma situación como la de él): se le da una fantasía (que no es el más habitual) pequeño diagrama en la parte Superior o Ab o lo que sea y quiere calcular el límite o el colimit. De alguna manera él tiene miedo de esto. Siento que mi pregunta es algo demasiado amplio y unprecise, pero este es el mejor que he venido para arriba con lo que me pidieron a mí mismo.

Answer 1

No estoy seguro de lo que haría el trabajo de esta persona, pero me gustaría ser tentado para evitar este problema, Peligro! de estilo. Es decir, en lugar de presentarse con un diagrama y tratando de calcular su límite/colimit, tomar algunas construcción y elaborar un diagrama en el que, naturalmente, expresa la construcción como un límite o colimit.

Así, por ejemplo, este podría ser demasiado fácil, pero tenga en cuenta la construcción de la $X/A$ donde $A$ es un subespacio de un espacio topológico $X$. Es esto, naturalmente, un límite o colimit? Bueno, es un colimit, pero ¿de qué? De nuevo, esto puede ser muy fácil, ya que su amigo es cómodo alrededor de pushouts. Para crédito extra: lo más sensato es significado de $X/\emptyset$?

O bien, tomar la gráfica de una función como $y = x^2$. Este puede ser considerado como un límite o colimit? Esta vez se trata de un límite, a saber, la igualdad-izer de dos funciones de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$. (Hay más general de la lección que se aprende aquí, que los límites son generalmente los loci de la adecuada ecuaciones.)

Cómo acerca de la localización de la $\mathbb{Z}[1/p]$ donde podemos invertir un primo? Tal vez un poco más difícil, hacer lo mismo para la localización de $\mathbb{Z}_p$. O (sería demasiado familiar?) ¿cómo se expresa el $p$-adics como un límite?

O, llegado con la condición de que un presheaf más de un espacio es una gavilla. Esto puede ser muy familiar, o demasiado abstracta, sin embargo. Podría ser el mejor para tomar ejemplos más concretos como los de arriba. Estos son todos fuera de la parte superior de mi cabeza, sin embargo, y algo no probado por mí personalmente.

Answer 2

Mi facourite ejemplo es que los enteros $\mathbb Z$ puede ser obtenido a partir de un diagrama de pushout

$$ \begin{matrix} \{0,1\} & \to & \{ 0\} \\ \downarrow && \downarrow \\ \mathcal I & \to & \mathbb Z \end{de la matriz}$$ en la categoría de groupoids donde $\mathcal I$ es el groupoid con dos objetos de $0,1$ y la no identidad flechas $\iota:0 \to 1, \iota^{-1}:1 \to 0$ Este pushout también muy bien los modelos de la forma en que el círculo de $S^1$ se obtiene a partir de la unidad de intervalo de $[0,1]$ mediante la identificación de $0$ e $1$. Así vemos que un valor de la noción de colimit, de los cuales pushout es un caso especial, es decir, para comparar los conceptos en diferentes categorías. También, sabemos que la mayoría de las cosas internamente acerca de la groupoid $\mathcal I$, mientras que los enteros son infinitas.

Answer 3

Parece que él se ha enfrentado con la siguiente situación (a la que yo nunca he tenido que hacer frente; que es la razón por la que voy a plantear aquí, en la esperanza de que alguien ya ha estado en la misma situación como la de él): se le da una fantasía (que no es el más habitual) pequeño diagrama en la parte Superior o Ab o lo que sea y quiere calcular el límite o el colimit. De alguna manera él tiene miedo de esto.

Entonces parece que lo que su amigo realmente necesita es aprender métodos para calcular los límites o colimits! Aquí están algunos hechos que deben ayudar a su amigo dificultades en diversas categorías familiares.

• En cualquier categoría, para calcular arbitraria de los límites de los pequeños y colimits es suficiente para calcular productos y ecualizadores resp. co-productos y coequalizers. Este es un buen ejercicio; para una solución véase, por ejemplo, esta entrada del blog.

• En $\text{Set}$, el producto de una familia de conjuntos es su producto Cartesiano en el sentido usual de la palabra, y el subproducto de una familia de conjuntos es su distinto de la unión en el sentido usual de la palabra.

• En $\text{Set}$, el ecualizador de un par de funciones $f, g : X \to Y$ es $\{ x \in X | f(x) = g(x) \}$, y el coequalizer es el cociente de $Y$ por la relación de equivalencia generada por establecimiento $f(x) \sim g(x)$ para todos los $x$.

• Muchas categorías de $C$ están equipados con un olvidadizo functor $U : C \to \text{Set}$, con una izquierda adjoint (el "objeto" functor). De ello se desprende que $U$ preserva límites, por lo que cuando existen límites en $C$ se calcula como límites en $\text{Set}$ subyacente conjuntos. Por ejemplo, este es el caso de

  • Espacios topológicos, gráficos
  • Grupos, abelian grupos, anillos, varios otros algebraicas categorías

• Dualmente, si $C$ está equipada con un olvidadizo functor $U$ que tiene un derecho medico adjunto, a continuación, $U$ conserva colimits, así que cuando colimits existen en $C$ deben ser computados como colimits en $\text{Set}$ subyacente conjuntos. Por ejemplo, este es el caso de

  • Espacios topológicos, gráficos

• Si $C$ es un reflexivo subcategoría de una categoría $D$, vamos a $U : C \to D$ el valor de la inclusión y deje $F : D \to C$ denotar su izquierda adjunto. Por el punto 4, los límites en $C$ puede ser calculado en $D$. Pero es además cierto que colimits en $C$ puede ser calculado por el primer cómputo de la colimit en $D$ y, a continuación, aplicar el $F$. Por ejemplo, este es el caso de

  • La inclusión de abelian grupos dentro de los grupos (el de la izquierda adjunto es abelianization)
  • La inclusión de compacto de Hausdorff espacios en los espacios (el de la izquierda adjunto es de Stone-Cech compactification)
  • La inclusión de gavillas en presheaves (el de la izquierda adjunto es sheafification)

Answer 4

• Para un analista, calcular el colimit a lo largo de $K\subseteq\mathbb R^n$ de los espacios de $C^\infty_K(\mathbb R^n)$ de las funciones lisas en $\mathbb R^n$ con el apoyo contenida en $K$. Usted puede construir othr espacios que harán sonar una campana de esta manera, como $L^1_{\mathrm{loc}}$, y amigos.

• Para un algebrist, la construcción de la localización de un anillo conmutativo como un colimit.

• Para el complejo analista, construir el espacio de los gérmenes de la analítica de las funciones como una colimit.

• Para más audiencia general, convencerlos de que dirigida límites y colimits son sólo de uniones e intersecciones de las clases. Por ejemplo, mostrar que un anillo/módulo es el colimit de su finitely generado subobjetos, que el conjunto de cantor es un colimit, etc.

• Hacer que el kernel y la cokernel, por supuesto. Generalizar a ecualizadores y coequalizers para mostrar que se obtienen útil nociones en categorías más generales que sirven a propósitos similares.

Answer 5

El Arens-Michael envolvente es un ejemplo de un natural colimit en el análisis Funcional. Intuitivamente es una operación (un functor), que convierte cada álgebra topológica $A$ a su más cercano desde el exterior holomorphic álgebra $\text{Env}A$.

Como una ilustración, si $A$ es el álgebra ${\mathcal P}(M)$ de los polinomios en una afín algebraicas colector $M$, entonces su Arens-Micael de sobres $\text{Env}A$ es exactamente el álgebra ${\mathcal O}(M)$ de holomorphic funciones en $M$: $$ \text{Env}{\mathcal P}(M)={\mathcal O}(M). $$
La no-conmutativa caso es especialmente interesante, ya que se genera no trivial cálculos en la geometría no conmutativa. Por ejemplo, el "polinomio versión" de los denominados $az+b$-grupo se convirtió en su "holomorphic versión": $$ \text{Env}{\mathcal P}_q({\mathbb C}^\times\ltimes{\mathbb C})={\mathcal O}_q({\mathbb C}^\times\ltimes{\mathbb C}), $$
para $|q|=1$, pero la fórmula es distinta en el caso de $|q|\ne 1$: $$ \text{Env}{\mathcal P}_q({\mathbb C}^\times\ltimes{\mathbb C})={\mathcal O}({\mathbb C}^\veces)\underset{\delta^p}{\desbordado{z}{\odot}}{\mathcal P}^\estrella({\mathbb C}) $$
(ver detalles en mi artículo).

Del mismo modo, no son naturales functors de tomar

• el más cercano continua álgebra topológica con la fórmula $$ \text{Env}A={\mathcal C}(M) $$
  para una subalgebra $A$ en ${\mathcal C}(M)$ tener $M$ como el involutiva espectro, y

• el más cercano suave álgebra topológica con la fórmula $$ \text{Env}A={\mathcal C}^\infty(M) $$
  para una subalgebra $A$ en ${\mathcal C}^\infty(M)$ tener $M$ como el involutiva espectro y $T_x(M)$ como el involutiva el espacio de la tangente en cada punto de $x\in M$.