He corrido algunas simulaciones sencillas de este sistema en Python, y no se parece nada a un buen integrable sistema una vez que usted haga zoom en las órbitas. Sin duda, las órbitas no se parecen a las curvas cerradas sobre el punto fijo, como se sugiere por la trama en la pregunta. Te voy a dar algunos evidencia numérica del comportamiento caótico de el mapa aquí, en lugar de las pruebas. Sin embargo, creo que gran parte de este comportamiento podría ser demostrada rigurosamente con nada mucho más complicada que la del teorema del valor intermedio y algunos (muy aburrido), los cálculos cuidadosos con el error de límites. Yo también creo que el tipo de comportamiento demostrado por este mapa es bastante común para el área de la preservación de los mapas que están cerca de ser integrable, aunque no soy un experto en esto (la pregunta parece muy interesante). Cuando se perturba un integrable mapa, manteniendo el área de preservación de la propiedad, de las órbitas con irracional de rotación de los números son relativamente estables, mientras que las órbitas en racional de rotación de los números de romper.
En primer lugar, la función de $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $f(x,y)=\left(\sqrt{1+x^2}-y,x\right)$ se ve fácilmente ser invertible mapa con un único punto fijo en $p_0=\left(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}\right)$. Se ha matriz Jacobiana $\left(x/\sqrt{1+x^2},-1;1,0\right)$ a que la unidad de determinante, por lo $f$ es área de preservación. En el punto fijo, el Jacobiano tiene los autovalores $(1\pm i\sqrt{15})/4$ que no es una raíz de la unidad, cerca del punto fijo, $f$ es de aproximadamente una rotación (después de un cambio lineal de variables) por el número irracional $\theta_0=(2\pi)^{-1}\cos^{-1}(1/4)\approx0.2098$ de las vueltas. Por otro lado, lejos del punto fijo, $f(x,y)=(\vert x\vert-y,x)+O(1)$, lo $f$ se aproxima al líder de la orden por $(x,y)\mapsto(\vert x\vert-y,x)$. Este es integrable, con poligonal órbitas (ver el archivo vinculado por Sylvain Bonnot en los comentarios, y también el documento vinculado en la pregunta, el cual menciona que este mapa tiene el número de rotación $2/9\approx0.222$). Creo que la integrabilidad de $f$ en el límite de ir muy lejos, o muy cerca del punto fijo está garantizada por el hecho de que es el área de la preservación y lineal en líneas radiales, por lo tanto, reduce a un homeomorphism del círculo.
El trazado de la orbita de un conjunto inicial de puntos elegidos a lo largo del eje x se muestra este comportamiento, y el mapa se ve muy bien comportado hasta ahora.
![Orbits]()
A continuación, considere la línea de $\lbrace p_0+(x,0)\colon x\in\mathbb{R}^+\rbrace$. Esto debe cortar a través de las órbitas, y podemos determinar el número de rotación de $f$ en la órbita como una función de $x$. Esto se puede hacer por appying $f$ algún gran número $n$ tiempos, contando las veces que se recorre en girar alrededor de su punto fijo, y dividiendo por $n$. Parece ser una función creciente de $x$, pasando de alrededor de 0.210 a unos 0.222, de acuerdo con la explicación anterior.
![Rotation numbers]()
El número racional en este rango con la menor denominador es $3/14\approx0.2143$, que se produce en $x\approx1.119$. Podemos hacer zoom en un rango pequeño, en torno a este valor y calcular la rotación de los números de nuevo. Yo también multiplicar por 14, por lo que es claro de donde pasan a través de el valor entero 3.
![Rotation numbers zoomed]()
No está claro el modo de bloqueo como el número de rotación pasa a través de 3/14. Si es verdad, esto es incompatible con las órbitas se limita a las curvas cerradas sobre el punto fijo! Para mostrar esto, considere un punto en el modo bloqueado región que no es un punto fijo de $f^{14}$. No deben ser tales que los puntos de otra manera, por el hecho de que $f$ es analítica, $f^{14}$ sería constante en todas partes, que no es el caso (cerca del punto fijo, para una cosa). A continuación, tomar una cerrada bola que no contiene puntos fijos de $f^{14}$. De forma iterativa la aplicación de $f^{14}$ le coverge a un conjunto finito de puntos fijos de $f^{14}$ en cada órbita, que tiene medida cero, contradiciendo el área de conservación de la propiedad de $f$.
Así que, ¿qué sucede en el modo bloqueado regiones? Elegí un número de puntos iniciales en y alrededor de el modo bloqueado región y trazar una gráfica de la recorre de $f$ (gira y se ajustaron para que ajuste en el gráfico).
![Mode Locked Orbits]()
El modo bloqueado región correspondiente a la rotación número 3/14 en realidad se compone de 14 separado en pequeñas regiones (homeomórficos a cerrado bolas) se unieron, cada uno de los cuales contiene un punto sobre el que se repite de $f^{14}$ rotar. Estos puntos forman una órbita de periodo de 14 de $f$, así como los puntos en los que las pequeñas regiones se unen (que parece hiperbólico periódico puntos).
No es demasiado difícil ver por qué esto debería ser así. Si traza el ángulo a través del cual $f^{14}$ gira puntos en una órbita con el número de rotación de menos de 3/14, será inferior a 3 en todas partes. Como el número de rotación de la órbita aumenta a 3/14, a continuación, los picos de este gráfico aumentar a 3, en representación de la hiperbólico puntos fijos. Del mismo modo, usted puede acercarse a la rotación número de 3/14 desde arriba, con los mínimos de la gráfica de la disminución de la hiperbólico puntos fijos. Estos dos límites dar los dos extremos (interna y externa) de las órbitas de número de rotación 3/14 se unió a la hiperbólica puntos fijos. Como deben ser distintos de las órbitas, que encierran el modo "bloqueado" de la región.
La región con el número de rotación 3/14 era el más fácil de comprobar, ya que el que tiene menor denominador, pero yo esperaría que existe un comportamiento similar en otros números racionales. Además, dentro de la pequeña en modo bloqueado regiones, donde vimos que $f^{14}$ ha órbitas de rotación alrededor de un punto central, me gustaría aventurar una conjetura que nos tienen un comportamiento similar de nuevo, dando una estructura fractal de las órbitas de $f$.
Permítanme ahora mira esto desde un punto de vista teórico. Puede ser demostrado que no es posible que las órbitas de $f$ a toda la mentira en las curvas cerradas sobre el punto fijo. Primera vez que voy a mostrar que hay sólo un número finito de periódico puntos de un orden dado (que no es un múltiplo de 3, a pesar de esta restricción es que tal vez no sea necesario). Esto es suficiente para restringir severamente el posible comportamiento de las órbitas de $f$ (el argumento de abajo debe ser perfectamente rigurosa, una vez que llene las cosas que me han pasado por alto de forma rápida).
Teorema: Para cualquier entero positivo $n$, no es un múltiplo de 3, sólo hay finitely soluciones a $f^n(x)=x$.
Prueba: en Primer lugar, permite la actualización de $f$ a un 2 valores de función mediante la adopción de los dos signos para la raíz cuadrada, $f((x,y))=(\pm\sqrt{1+x^2}-y,x)$. A continuación, $f^n(x)$ es de hasta el $2^n$ valores $x\in\mathbb{R}^2$, y podemos reescribir $f^n(x)=x$ as $x\in f^n(x)$. Te voy a mostrar que, en realidad, tiene un número finito de soluciones en $\mathbb{C}^2$. Tenga en cuenta que el conjunto de $S=\{x\in\mathbb{C}^2\colon x\in f^n(x)\}$ es algebraica (es decir, la puesta a cero de un conjunto de polinomios en x). Como una variedad afín, esto es de dimensión 0 (un número finito de valores) o de dimensión positiva (incontables y, de hecho, ilimitado). Sólo tenemos que descartar la posibilidad de $S$ ser ilimitado. La definición de los 2 valores de la función$g(x,y)=(\pm x-y,x)$,, a continuación,$f(x)=g(x)+O(1)$. Por lo tanto, si hubo una secuencia $x_k\in S$ con $\Vert x_k\Vert\to\infty$,, a continuación, $x_k/\Vert x_k\Vert\in g^n(x_k/\Vert x_k\Vert)$ hasta un $O(1/\Vert x_k\Vert)$ plazo. Tomando el límite de $k\to\infty$, tenemos un valor distinto de cero solución a $x\in g^n(x)$. Sin embargo, $g^n$ corresponde a la multiplicación por una matriz desde el set $M_{\pm}=(\pm1,-1;1,0)$ n veces. Así, por $N$ igual a uno de los n-fold productos $N=M_\pm M_\pm\cdots M_\pm$, tendríamos ${\rm det}(N-I)=0$. Como estos son entero de matrices, podemos reducir mod 2. Tenga en cuenta que, $M_+$ e $M_-$ reducir a $M=(1,1;1,0)$ mod 2 y que $M^3=I$ (mod 2). Por lo tanto, $N=M^n$ que es igual a la de $M$ o $M^2$ (mod 2), como $n$ no es un múltiplo de 3. Esto implica que ${\rm det}(M-I)=0$ o ${\rm det}(M^2-I)=0$ (mod 2), que se puede comprobar que no es el caso. QED
El teorema anterior es suficiente para demostrar que muchas de las curvas en su parcela debe romper cuando te acercas. Recordemos que $p_0\in\mathbb{R}^2$ denota los puntos fijos de $f$.
Corolario: El conjunto de curvas cerradas acerca de $p_0$ preservado por $f$ no puede cubrir todos los de $\mathbb{R}^2\setminus\{p_0\}$.
Prueba: Se puede calcular el número de rotación de $f\vert_C$ para cualquier curva cerrada $C$ circundante $p_0$. Para cualquier $x\in C$, esto puede ser calclated contando el número de veces que $f^n$ rota $x$ sobre $p_0$, dividiendo por $n$, y tomando el límite de $n\to\infty$. Esta es una función continua de $x$, lo que denota por $R(x)$. Como $x\to p_0$ tenemos $R(x)\to\cos^{-1}(1/4)/(2\pi)\approx0.2098$, e $R(x)\to5/9\approx0.222$ as $\Vert x\Vert\to\infty$. La elección de cualquier número racional $p/q$ (con $q$ no es un múltiplo de 3) entre estos límites, entonces, por la continuidad de la rotación de los números, $R(x)=p/q$ para algunos $x$. A medida que nos movemos de forma radial a lo largo de una línea de $p_0$ hasta el infinito, una de las dos cosas puede suceder. (i) $R(x)=q$ on no trivial de intervalo. Como se explicó anteriormente, esto se contradice con el área de conservación de la propiedad de $f$. O, (ii) $R(x)=q$ en un lugar denso conjunto. Pero, como el número de rotación pasa a través de $q$, siempre obtendrá el modo de bloqueo, a menos que $f$ es conjuate a una rotación de ángulo de $p/q$, es decir, $f^q(y)=y$ para todos los $y$ en la cerrada curva que pasa a través de $x$ y preservado por $f$. Sin embargo, esto implica una infinidad de soluciones a $f^q(y)=y$. Así, podemos descartar que ambas posibilidades. QED
Por una modificación de este argumento, se puede mostrar que las pequeñas órbitas de $f^{14}$ en mi parcela también debe romper. Así, es casi definitivo que algunas de las órbitas de $f$ son en realidad caótica, y no se encuentran en cualquier finito de la unión de las curvas (creo que se puede demostrar usando las ideas anteriores, pero necesitaría mucho más trabajo para hacerlo riguroso).
