Con la función de rango igual al conjunto de reales en cada conjunto abierto

Question

Hay un ejemplo de una función que es ilimitado en cada conjunto abierto. Simplemente tome $f(n/m) = m$ para coprime $n$ e $m$ e $f(irrational) = 0$.

Quiero generalizar esta en una forma de obtener una función que no es sólo ilimitada en cada conjunto abierto, pero cuyo rango es igual a $\mathbb{R}$ en cada conjunto abierto. El último de construcción claramente no funciona.

Estoy interesado si tal función existe y si existe es allí cualquier manera constructiva para definirlo?

Answer 1

Para un no-solución constructiva, vamos a $\pi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Q}$ ser la proyección homomorphism, y deje $g : \mathbb{R}/\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ ser un bijection. A continuación, la composición de la $g\circ \pi$ tiene la propiedad deseada.

Answer 2

Ver Conway base 13 de la función.

Answer 3

Un par de maneras de pensar acerca de él. (Hay conexiones con algunas de las respuestas de arriba.)

1. La gráfica de la función tiene que tener la propiedad que se cruza cada línea horizontal del segmento de positivos longitud en el plano. Bien el fin de estos segmentos de línea de tal manera que cada uno tiene menos predecesores de la cardinalidad de los reales, y luego se pega un punto en uno a la vez. En cada etapa, uno ha de poner menos puntos en la gráfica que hay puntos en un segmento de línea, por lo que habrá puntos en el segmento de los que no están verticalmente por encima o por debajo de los puntos que ya están elegidos. Cuando hayas cubierto todos los segmentos de la línea, elija el resto de la función de forma arbitraria.

2. Enumerar todos los intervalos abiertos con racional de los puntos finales. Ahora inductivamente crear un gráfico como el siguiente. Recoger el primer intervalo, y llevar una copia del conjunto de Cantor en su interior. Biject que copia del conjunto de Cantor a los reales. Escoge el segundo intervalo y encontrar dentro de un intervalo abierto disjunta de que el conjunto de Cantor elegido con anterioridad. Dentro de eso, tome una copia del conjunto de Cantor y biject a los reales. A seguir adelante. El complemento del conjunto que hemos definido la función hasta el momento siempre es abierto y denso, por lo que siempre se puede seguir. (No hace falta decir que no hay nada especial acerca de las copias del conjunto de Cantor: cualquier clase de conjuntos con una cardinalidad de los reales es cerrado bajo contables de las intersecciones, y no incluye ninguna abrir intervalos de hacer el trabajo.)

Answer 4

Según lo sugerido por Gerry, Ejemplo 27 en el Capítulo 8 de Gelbaum y Olmstead Contraejemplos en Análisis es una función de este tipo.

Answer 5

Incluso se puede decir algo mucho más fuerte. Como Gowers puntos, se puede reformular la pregunta: ¿existe una función que se cruzan cualquier línea vertical, en cualquier intervalo abierto? Aquí usted puede sustituir "línea vertical" continuo "de la función" y "intervalo abierto" con "conjunto con medida positiva". La construcción es exactamente como Gowers el punto 1. Usted sólo tiene que utilizar el conjunto de función continua y la Borel $\sigma$-álgebra cada uno tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$.

Me pregunto si usted podría sustituir la "función continua" con "medibles de función" en la anterior? Cómo muchos medibles función hay?