Una media aritmética de mayor peso de la teoría?

Question

Me disculpo si estas preguntas parecen ingenuos o cargado.

Hay un análogo de la teoría de la más alta pesos para irreductible finito-dimensional de representaciones de álgebras de Lie de algebraica de grupo (o tal vez el grupo de los esquemas) sobre un no-algebraicamente cerrado de campo (resp. un "buen" anillo de, por ejemplo, un dominio de Dedekind).

Hay resultados análogos a los de la Mentira de los teoremas en el caso de los algebraica de los grupos (tal vez incluso arbitraria grupo de esquemas)? Soy consciente de Jantzen del libro en las representaciones algebraica de los grupos, pero si recuerdo correctamente, él lo hace todo a través de una algebraicamente cerrado campo base. Yo no he estudiado el libro en detalle de convencerme de que los argumentos que allí se llevan a la no-algebraicamente cerrado el caso.

Supongo que la Borel-Bott-Weil-(Schmidt) construcción de mayor peso con secciones de cohomology grupos de la línea de los paquetes pueden ser generalizados a una más de la aritmética de configuración (como Jantzen ha hecho en su libro). ¿Hay algún avance en este sentido más allá de la algebraicas grupos, dicen que se debe incluir un "agradable" de la clase de grupo esquemas? Yo soy más curioso del caso de los clásicos grupos.

Sobre grupo más general esquemas, he buscado partes de SGA3, pero no he podido encontrar ningún claramente los resultados indicados conectar el álgebra de la Mentira de un esquema de grupo (se define como el uso de propiedades universales) a la base del esquema de grupo.

Una más general y más cargado pregunta: ¿en qué medida es un buen esquema determinado por su espacio de la tangente en un distinguido punto. Soy consciente de la noción de jet esquemas, hay algunos importantes o, al menos ordenada de los resultados en esta área a nadie le gustaría compartir?

Gracias de antemano.

Answer 1

Johnson, que tiene uno de los mayores expertos en el mundo sobre cuestiones más generales de los campos), justo arriba de su oficina. Hacer uso de eso.

Muchas de las construcciones básicas de trabajo para dividir los grupos sobre los campos, pero demostrando buenas propiedades (tales como la irreductibilidad y la clasificación de resultados) requiere más de un campo de característica 0. (Una vez que las construcciones son hechas, para probar cosas que uno puede extender escalares a una expresión algebraica de cierre, o incluso reducir el conocido caso de más de $\mathbf{C}$ si así lo quisieran, por el "Lefschetz Principio".) La Mentira de álgebra es una buena invariante (por ejemplo, fieles!) sobre los campos de característica 0, pero incluso entonces sólo se conserva en mejor información acerca de los grupos hasta isogeny. Otro caso en el que ofrece un útil invariante es $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$-álgebras, donde, junto con el $p$-álgebra de la Mentira de la estructura, se da una equivalencia con la categoría de finito localmente libre de grupos de $G$ a la desaparición relativa de Frobenius de morfismos tal que la gavilla de invariantes 1-formas es localmente libre sobre la base de (a grandes rasgos porque tal de fuga permite obtener de forma exponencial truncada en grados $< p$); esto se explica en SGA3, VII$_{\rm{A}}$, 7.2, 7.4

Más generalmente se puede esperar de kilometraje de la Mentira álgebra solo (pero sigue siendo perfectamente útil a través de su papel en la clasificación por medio de sistemas de raíz, entre otras cosas).