Definición más general de diferenciación

Question

Hay varias diferenciaciones/derivadas.

Por ejemplo,

• Derivado exterior $df$ de una función suave $f:M\to \mathbb{R}$
• Diferenciación $Tf:TM\to TN$ de una función suave entre múltiples $f:M\to N$
• Derivado de Radon-Nikodym $\frac{d\nu}{d\mu}$ de un $\sigma$ -medida finita $\nu$
• Derivada de Fréchet $Df$ de una función entre espacios de Banach $f:V\to W$

¿Cuál es la definición más general de diferenciación o derivada?

Answer 1

Es una verdadera lata de gusanos. Hay montones de nociones diferentes de diferenciabilidad para funciones que carecen de la suavidad clásica: la derivada de Gateaux, la derivada débil, la derivada distribucional, la derivada direccional, el subgradiente (para funciones convexas), el gradiente generalizado de Clarke, la diferenciabilidad de Hadamard, la diferenciabilidad de Bouligand, la derivada métrica y el gradiente superior, por nombrar algunas. Todas estas nociones no pueden ordenarse por "generalidad" de ninguna manera que yo conozca. E incluso hay nociones de diferenciabilidad para mapas con valores de conjunto...

Creo que la razón del gran número de nociones es que la diferenciabilidad tiene distintas motivaciones: aproximación local mediante una estructura más simple (por ejemplo, mediante mapas lineales (añada algún tipo de continuidad si lo desea)), medición de la tasa de cambio (añada una noción de dirección si lo desea), inversión del proceso de integración en algún sentido, búsqueda de direcciones de descenso para la optimización, un conjunto de reglas algebraicas para polinomios

Ah, y puede que quiera echar un vistazo a esta respuesta que contiene 12(!) nociones más de diferenciabilidad.

Answer 2

Supongo que depende de lo que se entienda por "más general" y de lo que se considere "derivado". Hay algunas definiciones puramente sintácticas de diferenciación que aparecen en la teoría de categorías.

Las categorías diferenciales cartesianas axiomatizan un operador de diferenciación que satisface todas las reglas en cadena de orden superior del cálculo diferencial normal (y cualquier operador de diferenciación que satisfaga esas reglas en cadena de orden superior nos dará una categoría diferencial cartesiana debido a una construcción libre de Cockett y Seely).

Las categorías tangentes axiomatizan la función de diferenciación de los mapas entre variedades. Pueden describirse como categorías con una acción de la categoría de álgebras de Weil, que satisface las mismas propiedades que la prolongación de Weil en la categoría de variedades lisas.

Estoy escribiendo esto en mi teléfono por lo que sólo voy a publicar enlaces en la parte inferior aquí:

• R.F. Blute, J.R.B. Cockett y R.A.G. Seely, Categorías diferenciales cartesianas , Teoría y Aplicaciones de las Categorías, Vol. 22, 2009, No. 23, pp 622-672. ( abstracto )

• J.R.B. Cockett y R.A.G. Seely, La construcción Faà di Bruno , Teoría y aplicaciones de las categorías, Vol. 25, 2011, n.º 15, pp 393-425. ( abstracto ) ( diapositivas de una charla de Seely)

• J. R. B. Cockett y G. S. H. Cruttwell, Estructura diferencial, estructura tangente y SDG Estructuras categóricas aplicadas 22 (2014) 331-417. doi: 10.1007/s10485-013-9312-0 , ( autor pdf )

• Poon Leung, Clasificación de estructuras tangentes mediante álgebras de Weil , Teoría y aplicaciones de las categorías, Vol. 32, n.º 9, 2017, pp. 286-337 ( abstracto )

Answer 3

Además de las generalizaciones mencionadas en otras respuestas, existe una versión abstracta de la diferenciación que aparece en las álgebras diferenciales. Este operador conserva las reglas familiares de diferenciación para sumas y productos de operandos, pero por lo demás es agnóstico en cuanto a cómo se obtiene la operación. El álgebra diferencial se aplica especialmente en la teoría de control no lineal.

Answer 4

Otras respuestas posiblemente no mencionaron la diferenciación multiplicativa (inversa de la integral multiplicativa) y la diferenciación discreta (hallar la diferencia finita, tanto hacia atrás como hacia delante). También existe la diferenciación multiplicativa discreta. No creo que haya ninguna generalización que las incluya.