Hay una función definida sobre los números reales, que es continua por la izquierda, pero no de derecho, en todas partes

Question

Soy docente de análisis Matemático. Un estudiante preguntó a esta pregunta. Creo que esta es una buena pregunta, pero no sé la respuesta.

Answer 1

Deje $\omega(f,A):= \sup \{|f(x)-f(y)| : x,y \in A\}$ ser la oscilación de la $f$ a $A$, y deje $O_n$ ser la unión de todos los conjuntos de $A$ s.t. $\omega(f,A) < 1/n$. A continuación, $O_n$ es abierto y su complemento es contable, debido a que cada innumerables conjunto cerrado que contiene a un punto que es un punto límite de la izquierda del conjunto, mientras que para cada una de las $x$ no es un porcentaje ($y<x$s.t. $(y,x)$ es un subconjunto de $O_n$. La función de $f$ es continua en los puntos de $B:=\cap O_n$, y la complementa de $B$ es contable.

Answer 2

Toda la izquierda-función continua $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua en casi todas partes.

Para ver esto, considere por ejemplo $f$ a $[0,1]$. (Tenga en cuenta que a la izquierda-funciones continuas son Borel.) Tome $\epsilon >0$, y para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ a $\delta_n>0$ tal que $$\mathcal{L}(A_n) \ge 1-2^{-n}\epsilon$$ con $$A_n := \left\{x \in [0,1]\,:\, |f(x)-f(y)|<\frac1n \text{ for all }y \in (x-\delta_n,x)\right\}.$$ A continuación, $f$ es claramente continua en la densidad de los puntos de $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$.

Answer 3

Aquí está una escuela primaria de la construcción que puede ser más fácil de asimilar por el estudiante.

1. Por definición, la de la izquierda de continuidad, para cada punto de $x$ y cada una de las $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ que si $y\in (x-\delta,x)$, $|f(y)-f(x)| < \epsilon$. Podemos actualizar esta por la desigualdad de triángulo para todos $y_1,y_2\in (x-\delta,x)$, $|f(y_1) - f(y_2)| < 2 \epsilon$.

2. Ahora construimos una secuencia de puntos de $x_i$ como sigue. Deje $\epsilon_i = 2^{-i}$ ser fijo. Deje $x_1$ ser arbitraria, y $\delta_0 = 1$. Dado $x_k$, definimos $\tilde{\delta}_k$ ser que es dado por el paso 1. Y definimos $$\delta_k = \min(\tilde{\delta}_k, \frac13 \delta_{k-1})$$ Y dejamos $x_{k+1} = x_k - \frac13 \delta_k$.

3. Deje $z = \lim x_k$. Tenga en cuenta que $z < x_k$ para todos los $k$ e $\frac13 \delta_k < x_k - z < \frac23 \delta_k$, así que por la construcción tenemos que siempre que $y \in (z - \frac13 \delta_k, z+\frac13\delta_k)$ tenemos $|f(x) - f(y)| < 2^{1-k}$. Esto demuestra la continuidad de la $f$ a $x$.