Soy docente de análisis Matemático. Un estudiante preguntó a esta pregunta. Creo que esta es una buena pregunta, pero no sé la respuesta.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Marcel
Puntos
882
Deje $\omega(f,A):= \sup \{|f(x)-f(y)| : x,y \in A\}$ ser la oscilación de la $f$ a $A$, y deje $O_n$ ser la unión de todos los conjuntos de $A$ s.t. $\omega(f,A) < 1/n$. A continuación, $O_n$ es abierto y su complemento es contable, debido a que cada innumerables conjunto cerrado que contiene a un punto que es un punto límite de la izquierda del conjunto, mientras que para cada una de las $x$ no es un porcentaje ($y<x$s.t. $(y,x)$ es un subconjunto de $O_n$. La función de $f$ es continua en los puntos de $B:=\cap O_n$, y la complementa de $B$ es contable.
towo
Puntos
1330
Toda la izquierda-función continua $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua en casi todas partes.
Para ver esto, considere por ejemplo $f$ a $[0,1]$. (Tenga en cuenta que a la izquierda-funciones continuas son Borel.) Tome $\epsilon >0$, y para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ a $\delta_n>0$ tal que $$\mathcal{L}(A_n) \ge 1-2^{-n}\epsilon$$ con $$A_n := \left\{x \in [0,1]\,:\, |f(x)-f(y)|<\frac1n \text{ for all }y \in (x-\delta_n,x)\right\}.$$ A continuación, $f$ es claramente continua en la densidad de los puntos de $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$.
Aquí está una escuela primaria de la construcción que puede ser más fácil de asimilar por el estudiante.
Por definición, la de la izquierda de continuidad, para cada punto de $x$ y cada una de las $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ que si $y\in (x-\delta,x)$, $|f(y)-f(x)| < \epsilon$. Podemos actualizar esta por la desigualdad de triángulo para todos $y_1,y_2\in (x-\delta,x)$, $|f(y_1) - f(y_2)| < 2 \epsilon$.
Ahora construimos una secuencia de puntos de $x_i$ como sigue. Deje $\epsilon_i = 2^{-i}$ ser fijo. Deje $x_1$ ser arbitraria, y $\delta_0 = 1$. Dado $x_k$, definimos $\tilde{\delta}_k$ ser que es dado por el paso 1. Y definimos $$\delta_k = \min(\tilde{\delta}_k, \frac13 \delta_{k-1})$$ Y dejamos $x_{k+1} = x_k - \frac13 \delta_k$.
Deje $z = \lim x_k$. Tenga en cuenta que $z < x_k$ para todos los $k$ e $\frac13 \delta_k < x_k - z < \frac23 \delta_k$, así que por la construcción tenemos que siempre que $y \in (z - \frac13 \delta_k, z+\frac13\delta_k)$ tenemos $|f(x) - f(y)| < 2^{1-k}$. Esto demuestra la continuidad de la $f$ a $x$.
