¿Es todo homeomorfismo $h$ de $S^n\times S^1$ con acción de identidad en $\pi_1$ pseudo isotópico a un homeomorfismo $g$ de $S^n\times S^1$ tal que $g(S^n\times x)=S^n\times x$ para cada $x\in S^1$ ? Me conformaría con una respuesta para $n>3$ .
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¿Demasiados anuncios?
anjanb
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Esto es falso para $n=1.$ El grupo de clases de mapeo del toro es $SL(2, Z),$ de los cuales los homeomorfismos que describes no son más que una pequeña parte - las matrices parabólicas $\begin{pmatrix}1 & n\\ 0 &1\end{pmatrix},$ a no ser que esté muy confundido. Creo con cautela que la afirmación es cierta para $n=2,$ por
Allen Hatcher , MR 420620 Homeomorfismos de tamaño suficiente $P^{2}$ -irreducible $3$ -manifolds , Topología 15 (1976), no. 4, 343--347.
ACTUALIZACIÓN para $n=3,$ lo mejor que puedo encontrar es:
Richard Stong y Zhenghan Wang , MR 1769331 Autohomorfismos de 4 manifolds con grupo fundamental Z , Topology Appl. 106 (2000), nº 1, 49--56.
Lo que clasifica hasta la pseudo-isotopía (NO la isotopía), y da el resultado esperado, por lo que puedo decir.
daremon
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Algunos resultados más antiguos reducen el problema a un cálculo. Browder (Diffeomorphisms of 1-Connected Manifolds, Transactions of the American Mathematical Society Vol. 128, No. 1 (Jul., 1967), pp. 155-163) examina los homeomorfismos PL de $S^1 \times S^n$ y muestra que cualquier homeomorfismo de este tipo es pseudoisotópico a uno que preserva una copia de $S^n$ . Me imagino que la misma prueba funciona para los homeomorfismos. En las dimensiones que estás considerando, hay una obstrucción debida a Hatcher y Wagoner, para obtener una isotopía de esta pseudo-isotopía, que vive en un grupo llamado $Wh_2(\mathbb{Z})$ . Tenía la idea de que este grupo desaparece, pero no puedo documentarlo.
Temitope
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Quiero responder a tu pregunta con integrales de Lebesgue, como pides, pero lo cierto es que la maquinaria de la medida no tiene en cuenta esto en absoluto (la medida de un subconjunto de $\mathbb R$ (utilizando la medida estándar o la medida de recuento, siempre es positiva). Recuerdo haber tenido un problema similar con el área con signo cuando aprendí sobre integrales de línea (los signos de valor absoluto siempre me molestan). La respuesta es que hace que la fórmula de adición se mantenga, incluso en el sentido de Lebesgue, de la siguiente manera:
Definir $\bar\int_S\,f=-\int_Sf$ . La idea es que $\bar\int$ "deshace" las integrales, por lo que si $B\subset A$ entonces $\int_A f+\bar\int_B\,f=\int_{A-B} f$ análoga a $\int_A f+\int_B\,f=\int_{A\uplus B} f$ si $A\cap B=\emptyset$ y $\int_A f+\bar\int_A\,f=0$ . Pero de esta manera, podemos borrar más de la integral: $B\subset A$ implica $$\int_A f+\bar\int_B\,f=\bar\int_{B-A} f,$$ donde ahora $\bar\int_{B-A} f$ se supone que representa la integración negativa sobre el conjunto. No es más que un truco algebraico, pero se supone que te hace pensar en términos de poder integrar hacia atrás sobre las cosas. Así, podemos definir $[a,b]=\overline{[b,a]}$ donde estoy abusando de mi propia notación para indicar que este conjunto se supone integrado negativamente, y $\int_{[a,b]} f=\bar\int_{[b,a]} f\Rightarrow\int_a^b=-\int_b^a$ . Es mucha notación para muy poca ganancia, pero espero haberte convencido de que esto puede tener algún sentido. Es muy útil poder decir $\int_0^x dt=x$ en lugar de $\int_0^x dt=|x|$ ¡!
Editar: Para las sumas, la medida de recuento asigna $1$ a cada punto de $\mathbb Z$ pero se aplica la misma regla. Para $A=[a,b)\cap\mathbb Z$ obtenemos $\int_Af=\sum_{i=a}^{b-1}f$ y para la regla de unión disjunta, tenemos, si $B=[b,c)\cap\mathbb Z$ es disjunta con $A$ , $$\int_Af+\int_Bf=\int_{A\uplus B}f\Rightarrow\sum_{i=a}^{b-1}f+\sum_{i=b}^{c-1}f=\sum_{i=a}^{c-1}f.$$
(Obsérvese cómo el $-1$ aparece. Esto es un artefacto de la definición de una suma como $\sum_a^b=\sum_{[a,b]\cap\mathbb Z}$ utilizando el intervalo cerrado, en lugar del semiabierto, que se comporta mejor con la adición. Todo programador que escribe for (int i=0;i<N;i++) lo sabe). Reordenando esta identidad, obtenemos, para una suma negativa $\overline{[a,b)\cap\mathbb Z}=(b,a]\cap\mathbb Z=[b-1,a-1)\cap\mathbb Z$ ,
$$\sum_{i=b}^{c-1}f-\sum_{i=a}^{c-1}f=-\sum_{i=a}^{b-1}f:=\overline\sum_Af:=\sum_{i=b}^{a-1}f.$$
He elegido los límites de la última definición para que sea consistente con nuestra regla de adición, porque ahora puedo reordenar para obtener
$$\sum_{i=b}^{c-1}f=\sum_{i=b}^{a-1}f+\sum_{i=a}^{c-1}f,$$
que es idéntica a la primera regla de adición, salvo que ahora $a<b$ , por lo que uno es una suma al revés. Por lo tanto:
$$\sum_{i=b}^{a-1}f=-\sum_{i=a}^{b-1}f\Rightarrow\sum_{i=b}^af=-\sum_{i=a+1}^{b-1}f.$$
Simone Bruno
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Edward Tanguay
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Intento responder a la pregunta:
¿Cuál es el grupo de homeomorfismos de $S^n\times S^1$ ¿hasta la pseudoisotopía?
que parece de mayor interés general. No voy a responder por completo, sino que me limitaré a hacer la parte fácil, produciendo un límite superior. No soy capaz de descartar la existencia de una única clase de homeomorfismos homotópicos a la identidad pero no pseudoisotópicos a la identidad, lo que sería un contraejemplo a la pregunta de Olga.
Después de escribir esta respuesta, me he dado cuenta de que el artículo de Browder citado por Danny Ruberman responde plenamente a esta pregunta. Y, de hecho, utiliza más o menos este método. Pero creo que mi respuesta es un poco más limpia porque aísla la cirugía como una máquina existente, mientras que Browder todavía estaba trabajando en los fundamentos de la teoría. En particular, no tengo ninguna restricción sobre el grupo fundamental del colector. Responde a toda la pregunta, descartando la $\mathbb Z/2$ No pude dirigirme, pero no veo cómo lo maneja.
Los problemas absolutos son difíciles. Los problemas relativos son más fáciles. Para atacar a los homeomorfismos, hay que ponerlos en una larga secuencia exacta que implique equivalencias de homotopía y algún tipo de problema relativo. Incluso después de calcular los grupos de ambos lados en la larga secuencia exacta, queda por determinar la imagen y el cociente que contribuyen al grupo de interés y el problema de extensión entre ellos. Pero da unos límites superiores e inferiores bastante buenos.
En concreto, el grupo de homeomorfismos hasta la isotopía $\pi_0 Top(M)$ se traslada al grupo de equivalencias de homotopía hasta la homotopía $\pi_0 hAut(M)$ . Este último grupo es difícil de calcular, y mucho menos la imagen, aunque en su caso es fácil. El núcleo es el subgrupo de homeomorfismos que son homotópicos a la identidad, hasta la isotopía. Esto recibe una suryección de $\pi_1(hAut(M)/Top(M))$ . No puedo calcular eso, pero lo menciono por la secuencia exacta $$\pi_1hAut(M)\to \pi_1(hAut(M)/Top(M)) \to \pi_0 Top(M) \to \pi_0 hAut(M)$$ lo que sugiere que $\pi_1hAut(M)$ importará; de hecho, reaparecerá en un papel análogo. Engrosando la relación de equivalencia de la isotopía a la pseudo-isotopía cambia el grupo y lo hace accesible. Demostraré que el conjunto de estructuras de cirugía relativa $S(M\times I;\partial)$ (que es un grupo bajo concatenación) se somete al grupo de homeomorfismos homotópicos a la identidad, módulo de pseudoisotopía y el núcleo recibe una suryección de $\pi_1(hAut(M))$ . Y los conjuntos de estructuras quirúrgicas son computables.
En su caso es fácil ver que $$\pi_0hAut(S^n\times S^1) =(\mathbb Z/2)^3 =\pi_0O(2)\times\pi_0O(n+1)\times\pi_1O(n+1)$$ y, por tanto, toda equivalencia homotópica se eleva a un homeomorfismo. Calcularé $S(S^n\times S^1\times I;\partial)=\mathbb Z/2$ . Así que eso demuestra que la respuesta es $(\mathbb Z/2)^3$ o una extensión de ese grupo por $\mathbb Z/2$ .
Equivalencias de homotopía
En primer lugar, calcular el grupo de equivalencias de homotopía. Reducir de los automorfismos a los automorfismos de base: en cualquier categoría geométrica la elección de un punto de base da un mapa del grupo de automorfismos al espacio, con fibra son los automorfismos que preservan el punto de base: $Aut_*(M)\to Aut(M)\to M$ . Los espacios de mapeo basados son más fáciles de trabajar. Además, el espacio coset $hAut(M)/Top(M)$ no depende de la existencia de un punto base, por lo que si nos interesa la imagen de $\pi_1hAut(M)$ podemos sustituirla por la versión basada; $\pi_1hAut(M,*)=\mathbb Z/2$ . Los espacios de mapeo basados se calculan celda por celda. Es fácil calcular $Map(S^n\vee S^1,S^n\times S^1)=\Omega S^1\times \Omega S^n\times \Omega^nS^n\times \Omega^nS^1=\mathbb Z\times\Omega S^n\times\Omega^n S^n$ porque es un mapa de un coproducto a un producto. Añadiendo una célula se obtiene una secuencia de fibración: $Map((D^{n+1},\partial),S^n\times S^1)\to Map_*(S^n\times S^1,S^n\times S^1)\to Map_*(S^n\vee S^1,S^n\times S^1)$ . Y $Map((D^{n+1},\partial),X)$ es básicamente un torsor sobre $Map_*(S^{n+1},X)$ . Lo que hace que este ejemplo sea fácil, aparte del pequeño número de celdas, es que dos de los factores de la base se dividen, por lo que los grupos de homotopía en grado bajo son la suma de los de la base y la fibra.
¿Por qué la cirugía?
La cirugía calcula el conjunto de estructuras de colectores en un espacio dado. Es algo así como los componentes de la fibra de homotopía del mapa de la categoría de los manifiestos y los homeomorfismos a la categoría de los espacios y las equivalencias de homotopía. Los componentes de la fibra de homotopía tienen el tipo de homotopía del espacio $hAut(M)/Top(M)$ que he mencionado anteriormente. Ese no es el tipo de homotopía del espacio que la cirugía computa, pero da una heurística de por qué la cirugía es relevante. Una razón más precisa, pero más complicada, es el mapeo de toros. Si $\varphi$ es un homeomorfismo de $M$ entonces su toro de mapeo es el cociente $M\times I/(x,1)\sim(\varphi(x),0)$ . Si un homemorfismo es homotópico a la identidad, entonces su toro de mapeo es homotópicamente equivalente al haz trivial $M\times S^1$ y, por tanto, da un elemento del conjunto de la estructura de la cirugía. Si un homeomorfismo es pseudoisotópico a la identidad, su toro de mapeo es homeomorfo al haz trivial. Por lo tanto, los homeomorfismos que son homotópicos a la identidad, hasta la pseudoisotopía son relevantes para $S(M\times S^1$ ). De hecho, el teorema de división de Shaneson dice que $S(M\times S^1)=S(M\times I;\partial)\times S^h(M)$ . El ingrediente clave es el problema de la cirugía relativa $S(M\times I;\partial)$ y este es también el grupo fundamental del espacio de la cirugía, conectando esto con la heurística anterior.
Cirugía relativa
Dejando de lado la motivación, demostraré que $S(M\times I;\partial)$ es exactamente lo que queremos. Es un grupo bajo concatenación. Se somete al grupo de homeomorfismos que son homotópicos a la identidad, hasta la pseudoisotopía; y el núcleo de este mapa recibe una suryección de $\pi_1hAut(M)$ . Entonces calcularé $S(S^n\times S^1\times I;\partial)=\mathbb Z/2$ .
Para $W$ un colector con límite $S(W;\partial)$ es el conjunto de mapas $N\to W$ de un colector a $W$ que son equivalencias homotópicas simples y tales que son homeomorfismos en la frontera, hasta la relación de equivalencia de los homeomorfismos $N\to N’$ que hacen conmutar al triángulo, hasta las homotopías que son constantes en la frontera. Especialicemos en $W=M\times I$ . Por el $s$ -teorema del cobordismo, cualquier $N$ es un $s$ -y por lo tanto es homeomorfo a un cilindro $M\times I$ . Así que este conjunto de cirugías se trata realmente de la equivalencia de homotopía de $M\times I$ a sí mismo. Existe un homomorfismo de $S(M\times I;\partial)$ al grupo de homeomorfismos módulo de pseudoisotopía: dado $N\in S(W;\partial)$ elegir una estructura cilíndrica $N=M\times I$ y componer con un homeomorfismo constante de $M$ para hacer el mapa de la estructura $N\to M\times I$ sea la identidad en el tiempo 0; y lea el homeomorfismo en el tiempo 1. Esto está bien definido hasta los homeomorfismos de $M\times I$ que son la identidad en el momento 0, es decir, hasta la pseudoisotopía. La imagen debe ser homotópica a la identidad, porque el mapa estructural da una homotopía. A la inversa, todo homeomorfismo que es homotópico a la identidad está en la imagen porque una elección de homotopía da un mapa estructural. Por último, si tenemos $N\in S(M\times I)$ que produce el homeomorfismo de identidad, su mapa de estructura da un bucle en $\pi_1(hAut(M))$ . Así que tenemos una secuencia exacta $$\pi_1(hAut(M))\to S(M\times I;\partial)\to G \to \pi_0(hAut(M))$$ donde $G$ es el grupo buscado, el grupo de los homeomorfismos hasta la pseudoisotopía.
(Este argumento se siente como si estuviera identificando $S(M\times I;\partial)$ con $\pi_1(hAut(M)/H)$ para algún grupo $H$ ).
Cálculo
La teoría de la cirugía calcula $S(W;\partial)$ para un $w$ -manifold $W$ poniéndolo en una larga secuencia exacta $$[\Sigma W/\partial,G/Top]\to L_{w+1}(\pi_1W)\to S(W;\partial)\to [W/\partial,G/Top]\to L_w(\pi_1W)$$ Borel conjeturó que una equivalencia de homotopía entre variedades cerradas asféricas es homotópica a la identidad, es decir, $S(B\pi)=*$ . Desde el punto de vista de la teoría de la cirugía, la generalización natural es que $L_*(\pi)=H_*(B\pi;L(e))$ para grupos sin torsión $\pi$ y que $G/Top$ es el componente conectado de $L=L(e)$ . Esto es conocido para nuestro grupo fundamental $\mathbb Z$ y aunque nuestro espacio no es el círculo, significa que habrá mucha cancelación.
Especializado en $W=S^n\times S^1\times I$ tenemos $L_{n+2}(\mathbb Z)=L_{n+2}\oplus L_{n+1}$ , mientras que $S^n\times S^1$ es establemente una cuña de esferas $S^{n+1}\vee S^n\vee S^1$ . Así, $$[S^n\times S^1\times I/\partial,G/Top] =\pi_{n+2}G/Top\oplus \pi_{n+1}G/Top \oplus \pi_2G/Top\oplus \pi_1G/Top\\ =L_{n+2}\oplus L_{n+1}\oplus L_2\oplus L_1$$ que contiene $L_{n+2}(\mathbb Z)$ como sumando. La conjetura de Borel no sólo dice $L_{n+2}(\mathbb Z)$ es un sumando, pero que el mapa es compatible; y de forma similar para los términos de una dimensión superior. Por tanto, el conjunto estructural es el otro sumando: $S(S^n\times S^1\times I;\partial)=L_2\oplus L_1=\mathbb Z/2\oplus e=\mathbb Z/2$ .
Así que $\mathbb Z/2$ es un límite superior del tamaño del grupo de homeomorfismos homotópicos a la identidad, hasta la pseudoisotopía. Pero mi opinión es que $\pi_1(hAut(S^n\times S^1,*))=\mathbb Z/2$ lo golpea y el grupo actual es trivial.
Adenda: Difeomorfismos
Existe una versión de la teoría de la cirugía para las variedades lisas. Sustituye $G/Top$ con $G/O$ . El espacio $G/O$ difiere de $G/Top\sim L$ por los grupos de esferas exóticas. Por lo tanto, hay menos cancelaciones y, en general, es más difícil calcular el conjunto de estructuras lisas. Pero en este caso, con la división estable, es bastante fácil de calcular, al menos en términos de esferas exóticas: $$S^{Diff}(S^n\times S^1\times I;\partial) =S^{Diff}(S^{n+2})\oplus S^{Diff}(S^{n+1})\oplus \mathbb Z/2$$ El $\mathbb Z/2$ es como antes y no sé si da difeomorfismos exóticos o viene de $\pi_1hAut(S^n\times S^1)$ , pero las demás deben dar lugar a difeomorfismos no pseudoisotópicos a la identidad. De hecho, podemos identificar esferas exóticas con difeomorfismos exóticos de esferas o discos de menor dimensión: $S^{Diff}(S^{n+1})=\pi_0Diff^+(S^{n})=\pi_0Diff(D^{n};\partial)$ . Así, $S^{Diff}(S^{n+1})$ da difeomorfismos de $S^n$ y por lo tanto $S^n\times S^1$ y $S^{Diff}(S^{n+2})$ da difeomorfismos de $D^{n+1}$ y por lo tanto cualquier $n+1$ -de la red, como por ejemplo $S^{n}\times S^1$ .
