¿Cuántas álgebras sigma existen en $\mathbb{R}$ ?

Question

Por un lado, hay al menos $2^\mathfrak{c}$ álgebras sigma en $\mathbb{R}$ : se puede tomar cualquier subconjunto $A$ de $\mathbb{R}$ y considerar un álgebra sigma $\{\emptyset, A, \bar A, \mathbb{R}\}$

Por otro lado, el número de álgebras sigma se puede acotar como $2^{2^\mathfrak{c}}$ ya que un álgebra sigma es una familia de subconjuntos de $\mathbb{R}$ .

Supongamos la hipótesis del continuo generalizado para simplificar. En este caso sólo hay dos respuestas posibles. Desgraciadamente, no puedo encontrar $2^{2^\mathfrak{c}}$ diferentes álgebras sigma, o demostrar que su número es exactamente $2^\mathfrak{c}$ .

Answer 1

Desde $|\mathbb{R}|^{\aleph_0}= |\mathbb{R}|$ existe una familia independiente de sigma (todas las cominaciones booleanas contables son no vacías) $F \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R})$ de tamaño $2^{|\mathbb{R}|}$ . Ahora, para cada subfamilia $G$ de $F$ considere el ideal sigma que contiene cada miembro de $G$ y el complemento de cada miembro de $F\setminus G$ . Así que hay $2^{2^{2^{\aleph_0}}}$ diferentes ideales sigma en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

La otra respuesta da muchos $\sigma$ -ideales, pero no creo que resuelva la cuestión sobre $\sigma$ -algebras.

Supongamos que GCH. Encuentre una familia $\mathcal{F}$ de $\aleph_2$ muchos subconjuntos de $\mathbb{R}$ dos de los cuales tienen una intersección contable. Hay $\aleph_3 = 2^{2^c}$ subconjuntos distintos de $\mathcal{F}$ que contienen más de un elemento.

Digamos que $A \subseteq \mathbb{R}$ contiene esencialmente $B$ si $B \setminus A$ es contable. Entonces para cada $\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}$ con más de un elemento la familia de subconjuntos de $\mathbb{R}$ que o bien contienen esencialmente todos los conjuntos de $\mathcal{F}_0$ o ningún conjunto en $\mathcal{F}_0$ es un $\sigma$ -que no contiene ningún conjunto en $\mathcal{F}_0$ y cada conjunto en $\mathcal{F}\setminus\mathcal{F}_0$ . Así que hay tantos distintos $\sigma$ -como hay subconjuntos de $\mathcal{F}$ con más de un elemento.

(Para construir $\mathcal{F}$ , identifique $\mathbb{R}$ con $\{f: \alpha \to \{0,1\}\, |\, \alpha$ es un ordinal contable $\}$ . Para cada función de $\aleph_1$ a $\{0,1\}$ , sus restricciones a todos los ordinales contables es un subconjunto de este conjunto, y dos de ellos cualesquiera tienen intersección contable).

Answer 3

Esta es la continuación de mi respuesta anterior.

Supongamos que $F$ es una familia de $2^{2^{|\mathbb{R}|}}$ sigma-ideales en $\mathbb{R}$ . Desechando los ideales principales, podemos suponer que todos son no principales. Sea $I, J \in F$ ser distintos y hacia una contradicción suponer que generan la misma sigma-álgebra. Nótese que la sigma-álgebra generada por un sigma-ideal es sólo el ideal junto con el filtro dual. Digamos que $X \in I \setminus J$ . Entonces $ \mathbb{R} \setminus X \in J$ y $J$ restringido a $X$ es un ideal sigma no principal en $X$ . Pero esto es imposible ya que no hay ningún cardinal medible por debajo de $|Y|$ . ¿Me estoy perdiendo algo obvio?