Hay un mapa de los espectros de la aplicación de la Thom isomorfismo?

Question

Un conocido teorema de topología algebraica se refiere a la (co)homología de la Thom espacio de $X^\mu$ de un orientable vector paquete de $\mu$ de la dimensión de $n$ durante un espacio de $X$ a la (co)homología de $X$ sí: $H_\ast(X^\mu) \cong H_{\ast-n}(X)$ e $H^\ast(X^\mu) \cong H^{\ast-n}(X)$.

Este isomorfismo puede ser demostrado de muchas maneras: Bott & Tu tiene una inductivo prueba mediante una buena cubre para los colectores y aprendí en MathOverflow que se puede utilizar una relación de Serre espectral de la secuencia. Sin embargo, creo que también debería ser una prueba utilizando estable homotopy teoría, en el caso de homología directa de la construcción de un isomorfismo de los espectros $X^\mu \wedge H\mathbb{Z} \to X_+ \wedge \Sigma^{-n} H\mathbb{Z}$ donde $X^\mu$ denota la Thom espectro, $H\mathbb{Z}$ el Eilenberg-Mac Lane espectro para $\mathbb{Z}$ e $X_+$ la suspensión del espectro de $X$ con un distinto punto de base añadido.

Hay una construcción explícita de un mapa de la aplicación de la Thom isomorfismo en el nivel de los espectros? Estoy interesado en este tipo de construcción tanto de homología y cohomology. Si es así, hay una construcción similar para generalizada (co)homología de las teorías? Yo también estaría interesado en referencias.

Answer 1

Hay una construcción de ambos Thom isomorphisms, homológica y cohomological, a través de la clásica estable homotopy teoría. Encontrará los detalles en Rudyaks libro "En la Thom espectros, orientability, y cobordism", capítulo V, §1. La Thom clase es un mapa de $X^{\mu} \to\Sigma^{n} H \mathbb{Z}$. Además, hay un mapa de los espectros $X^{\mu} \to X_+ \wedge X^{\mu}$ que es inducida desde el mapa de vector de paquetes de $\mu \to \mathbb{R}^0 \times \mu$ sobre la diagonal mapa de $X \to X \times X$. Aquí está la definición de la homológica Thom isomorfismo; el cohomological uno está en el mismo espíritu. Considerar la composición

$X^{\mu} \wedge H \mathbb{Z} \to X_+ \wedge X^{\mu} \wedge H\mathbb{Z} \to X_+ \wedge \Sigma^n H \mathbb{Z} \wedge H \mathbb{Z} \to X_+ \wedge \Sigma^n H \mathbb{Z} $. En homotopy grupos, se induce un mapa de reducir el grado por $n$ (hay una señal de error en su pregunta que me confundió por algunos minutos).

Está claro que esto funciona para las orientaciones con respecto a otros espectros del anillo así.

Answer 2

Johannes señala que funciona muy general, y tal vez es útil para ver que la generalidad. Perdón por volver a lo básico aquí. Hay tres ingredientes:

1. Dada una n-plano bundle $\xi \to B$ tenemos la Thom diagonal $T(\xi) \to T(\xi) \wedge B_+ $ inducida por la diagonal mapa de $B_+ \to B_+ \wedge B_+$, expresando $T(\xi)$ como comodule más de $B_+$ naturales y el mapa de $B_+ \to T(\xi)$ como comodule mapa.

2. Un anillo espectro de $E$.

3. Una orientación $T(\xi) \to \Sigma^n E$. Este es un cohomology de clase en $E^n T(\xi)$ que restringe a un generador de $\pi_*E$ cuando se compone con la naturaleza y el mapa de $S^n \to T(\xi)$ inducida por la inclusión de un punto en $B$. (Vea las páginas 253-255 (siguiente Proposición. 10.5) de Adams' "Estable Homotopy y Generalizado de la Homología" para una buena discusión de por qué este es el camino correcto para definir una orientación.)

El `geométrica' Thom isomorfismo es, entonces, el homotopy equivalencia obtiene mediante la composición de estos:

$E \wedge T(\xi) \E \wedge T(\xi) \wedge B_+ \E \wedge \Sigma^n E \wedge B_+ \a E \wedge \Sigma^n B_+$

La aplicación de $\pi_* $ obtenemos la Thom isomorfismo $E_* T(\xi) \cong E_* \Sigma^n B_+$.

Ya que es un $E$-mapa del módulo, podemos aplicar el $F_E(-,E)$ y la equivalencia $F_E(E\wedge X,E) \simeq F(X,E)$ para obtener una equivalencia $F(\Sigma^n B_+,E) \to F(T(\xi),E)$ la inducción de la Thom isomorfismo en $E$-cohomology, $E^*\Sigma^n B_+ \cong E^* T(\xi) $.

Answer 3

Acabo de darme cuenta de esta pregunta, así que mis disculpas por una muy tardía respuesta. La proposición 20.5.5 de http://www.math.uchicago.edu/~mayo/EXTHEORY/MaySig.pdf los estados que un $k$-orientación de un esférico fibration $X$ sobre una base del espacio de $B$ especifica una $k$-banalización de la $X$. Aquí $k$ es cualquier (homotopy) conmutativa anillo de espectro, y la noción de una $k$-la orientación es el estándar. Sin embargo, una $k$-banalización es una equivalencia $k\wedge X\simeq k\wedge S^n_B$ de parametrizar los espectros de más de $B$. Intuitivamente, después de romper con $k$ más de $B$, $X$ piensa que es la trivial fibration $B \times S^n \to B$.La Thom isomorfismo de la siguiente manera directa.