¿Fue la teoría de los entramados fundamental para las matemáticas de mediados del siglo XX?

Question

Hace cuatro años, leí un libro sobre la historia de las matemáticas hasta 1970 aproximadamente. Era muy interesante hasta el final. Los últimos capítulos, sin embargo, trataban sobre los entramados. El autor afirmaba que los entramados estaban tomando las matemáticas por asalto, y que pronto los entramados serían uno de los objetos centrales de las matemáticas, y muchas otras afirmaciones similares a las que ahora se hacen en referencia a la teoría de categorías.

No pude encontrar el libro en línea, pero encontré referencias a ideas similares en este post: ¿Buenos libros de teoría de celosía?

Pregunta 1: ¿Fue la teoría de celosías un elemento central de las matemáticas de mediados del siglo XX? Pregunta 2: ¿Es fundamental ahora?

Edición: Una pregunta más sencilla y con respuestas más definitivas: ¿algunos matemáticos de mediados del siglo pasado afirmaron que la teoría de retículos era vital o central para las matemáticas, y qué argumentos dieron?

Answer 1

Debo admitir que no conozco a nadie que afirme que la teoría de celosía es fundamental para las matemáticas o que la teoría de celosía se está apoderando de las matemáticas.

Los entramados aparecen en muchas ramas de las matemáticas. Por ejemplo, si se tiene un cierto tipo de objeto, como un espacio topológico o un grupo, se obtiene un retículo tomando la colección de todos los subobjetos de ese objeto. Por ejemplo, la colección de todos los subespacios cerrados de un espacio de Banach forman una red completa, y la colección de todos los subgrupos de un grupo también forman una red completa. Además, si se tiene una noción de congruencia, entonces la colección de todas las congruencias forman un entramado. Por lo tanto, se puede concluir que los entramados aparecen por todas partes en las matemáticas. Dicho esto, aunque los entramados aparecen por todas partes en las matemáticas, la teoría de entramados no parece ser un área muy popular de las matemáticas, ya que por alguna razón los matemáticos no están demasiado interesados en los entramados como estructuras algebraicas.

En el resto de esta respuesta, esbozaré algunas áreas generales en las que se utilizan los entramados.

Los entramados juegan un papel importante en el álgebra universal porque muchas estructuras algebraicas en el álgebra universal se construyen sobre entramados y porque uno puede saber mucho sobre las estructuras algebraicas en el álgebra universal simplemente mirando el entramado de congruencia de un álgebra. En el otro extremo del espectro, debería ser obvio que los entramados son útiles para estudiar conjuntos parcialmente ordenados que no tienen necesariamente una estructura de entramado.

Por último, se puede aplicar la teoría de la red a la topología sin puntos. La topología sin puntos toma las nociones de la topología general y las generaliza a un entorno que no menciona los puntos. Un marco es un entramado completo que satisface la ley distributiva $x\wedge\bigvee_{i\in I}y_{i}=\bigvee_{i\in I}(x\wedge y_{i}).$ Los marcos son el objeto central de estudio de la topología sin puntos, ya que la noción de marco generaliza la noción de red de conjuntos abiertos de un espacio topológico. Los resultados y las pruebas de la topología sin puntos son, en su mayoría, teóricos de la red. Aunque hay pocas personas que investigan la topología sin puntos, el área de la topología sin puntos está llena de áreas inexploradas.

Answer 2

La teoría de los entramados no era central, y no lo es ahora.

Creo que el problema de la teoría de retículas es que, aunque las retículas aparecen en todas partes en las matemáticas, suelen aparecer como objetos no como categoría . En otras palabras, el mapeo que asigna retículos a objetos de una categoría $\mathbf C$ a menudo no es un objeto parte de un functor $\mathbf{C}\to \mathbf{Lat}$ , donde por $\mathbf{Lat}$ Me refiero a la categoría de retículos con $\vee,\wedge$ -como morfismos. Normalmente, sólo tenemos un functor $F:\mathbf{C}\to\mathbf{Pos}$ que sólo tiene celosías en su rango.

Por ejemplo, es bien sabido que los matroides son "lo mismo" que los retículos semimodulares atomísticos finitos. Pero esto no es una equivalencia de categorías - no hay suficientes flechas en el lado de la red. Por supuesto, podemos añadir nuevas flechas, pero entonces estamos fuera de $\mathbf{Lat}$ .