Debo admitir que no conozco a nadie que afirme que la teoría de celosía es fundamental para las matemáticas o que la teoría de celosía se está apoderando de las matemáticas.
Los entramados aparecen en muchas ramas de las matemáticas. Por ejemplo, si se tiene un cierto tipo de objeto, como un espacio topológico o un grupo, se obtiene un retículo tomando la colección de todos los subobjetos de ese objeto. Por ejemplo, la colección de todos los subespacios cerrados de un espacio de Banach forman una red completa, y la colección de todos los subgrupos de un grupo también forman una red completa. Además, si se tiene una noción de congruencia, entonces la colección de todas las congruencias forman un entramado. Por lo tanto, se puede concluir que los entramados aparecen por todas partes en las matemáticas. Dicho esto, aunque los entramados aparecen por todas partes en las matemáticas, la teoría de entramados no parece ser un área muy popular de las matemáticas, ya que por alguna razón los matemáticos no están demasiado interesados en los entramados como estructuras algebraicas.
En el resto de esta respuesta, esbozaré algunas áreas generales en las que se utilizan los entramados.
Los entramados juegan un papel importante en el álgebra universal porque muchas estructuras algebraicas en el álgebra universal se construyen sobre entramados y porque uno puede saber mucho sobre las estructuras algebraicas en el álgebra universal simplemente mirando el entramado de congruencia de un álgebra. En el otro extremo del espectro, debería ser obvio que los entramados son útiles para estudiar conjuntos parcialmente ordenados que no tienen necesariamente una estructura de entramado.
Por último, se puede aplicar la teoría de la red a la topología sin puntos. La topología sin puntos toma las nociones de la topología general y las generaliza a un entorno que no menciona los puntos. Un marco es un entramado completo que satisface la ley distributiva x∧⋁i∈Iyi=⋁i∈I(x∧yi). Los marcos son el objeto central de estudio de la topología sin puntos, ya que la noción de marco generaliza la noción de red de conjuntos abiertos de un espacio topológico. Los resultados y las pruebas de la topología sin puntos son, en su mayoría, teóricos de la red. Aunque hay pocas personas que investigan la topología sin puntos, el área de la topología sin puntos está llena de áreas inexploradas.
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Esto es un poco en el lado de la opinión, pero creo que algunas personas en este sitio podría dar algunas buenas respuestas. Espero que la gente tenga un poco de paciencia.
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No tengo suficiente reputación para comentar, pero me pregunto qué sentido tiene hablar del centro de las matemáticas. Una pregunta anterior sobre este concepto no salió muy bien parada: mathoverflow.net/preguntas/131800
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Rota afirmó en muchos lugares que la teoría de retículos es un tema central (por ejemplo, aquí : ams.org/notices/199711/comm-rota.pdf Creo que dijo mucho más en "Pensamientos Discretos" o "Pensamientos Indiscretos", pero no tengo ninguno a mano). Pero claro, hay que tener en cuenta que le gustaba ser provocador...
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Sólo hay 16 preguntas en este sitio etiquetadas como teoría de entramados, por lo que probablemente sea seguro concluir que los entramados aún no están cerca de apoderarse de las matemáticas.
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He votado por cerrar como basado en la opinión, pero me retracto de mi voto con la nueva formulación.
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¿Cuál era el libro que estabas leyendo, aunque no sea fácil de encontrar en Internet?
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Por cierto, celosías entendidos como subgrupos discretos de grupos localmente compactos con covolumen finito (que es, por supuesto, diferente de la pregunta de OP), son de hecho centrales en las matemáticas, y la realización de esta centralidad se puede rastrear hasta mediados del siglo XX. Esta centralidad proviene de su conexión con la teoría de los números, la teoría de la representación, la topología y la geometría de Riemann.
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Espero que un verdadero experto como Richard Stanley intervenga. La teoría de los entramados estaba más de moda de lo que a la gente le gusta admitir. Dedekind las consideró, Stone se interesó por ellas y creó la dualidad de Stone, que fue la precursora de la dualidad de Gelfand y del espectro de Zariski, para entender las álgebras booleanas y los entramados distributivos. Piense en el espectro de la red de ideales radicales. von Neumann también estudió en cierta medida las redes en relación con la lógica y otras áreas de las matemáticas. Los retículos geométricos son importantes en la teoría de los matroides y los retículos semimodulares están relacionados con el algoritmo codicioso.
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Una prueba anecdótica de que mucha gente cree que la teoría de entramados no es actualmente central es el hecho de que la solución de Wehrung a uno de los mayores problemas abiertos en la teoría de entramados fue rechazada por JAMS con el argumento de que el artículo carecía de "interacción con otras áreas de las matemáticas." Véase el punto [68] de la página math.unicaen.fr/~wehrung/pubs.html para más información. Si la teoría de entramados se considerara central para las matemáticas, creo que es poco probable que el artículo de Wehrung se rechazara con una frase como esa.
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Permítanme citar a Dieudonné en el Bulletin of the AMS, 1953, vol. 5, p. 483, donde se reseña "Lectures in abstract algebra" de Jacobson, vol. II : "...se dedica una página entera a la ley "modular" en el entramado de subespacios, que ya no se utiliza nunca (¡y está ahí aparentemente por el bien de los que todavía creen que la teoría de entramados es una parte importante de las matemáticas!)