¿Fue la teoría de los entramados fundamental para las matemáticas de mediados del siglo XX?

Question

Hace cuatro años, leí un libro sobre la historia de las matemáticas hasta 1970 aproximadamente. Era muy interesante hasta el final. Los últimos capítulos, sin embargo, trataban sobre los entramados. El autor afirmaba que los entramados estaban tomando las matemáticas por asalto, y que pronto los entramados serían uno de los objetos centrales de las matemáticas, y muchas otras afirmaciones similares a las que ahora se hacen en referencia a la teoría de categorías.

No pude encontrar el libro en línea, pero encontré referencias a ideas similares en este post: ¿Buenos libros de teoría de celosía?

Pregunta 1: ¿Fue la teoría de celosías un elemento central de las matemáticas de mediados del siglo XX? Pregunta 2: ¿Es fundamental ahora?

Edición: Una pregunta más sencilla y con respuestas más definitivas: ¿algunos matemáticos de mediados del siglo pasado afirmaron que la teoría de retículos era vital o central para las matemáticas, y qué argumentos dieron?

Answer 1

En cuanto a la "pregunta más sencilla": sí, en la década de 1930-1940 los (no muchos) pioneros de la teoría de retículos tenían grandes esperanzas; se pueden leer sus esperanzas en el Boletín AMS de 1938 para el primer simposio sobre teoría de retículos, y la introducción a la primera edición del libro de Birkhoff sobre teoría de retículos. Y luego comparar estas esperanzas con las admisiones posteriores de que esas grandes esperanzas no se materializaron: ver la introducción a la segunda edición del libro de Birkhoff (y las esperanzas aún más rebajadas en la tercera edición), y los informes en otros simposios sobre teoría de celosías.

En la parte restante de esta respuesta, los comentarios a partes de otras respuestas se utilizan para mostrar las posibles razones de que haya menos esperanzas en el futuro. (Sin embargo, también podría ser que la fragmentación y la descentralización reduzcan también las esperanzas en la teoría de las categorías o en cualquier otro tema actualmente enfatizado).

Se ha comentado que a Rota le gustaba ser provocador; yo también intentaré serlo. Espero que no demasiado.

en su momento no pasó de moda trabajar en la teoría de retículos (si utilizamos la "definición" de que las matemáticas importantes son las que hacen los matemáticos importantes).

De hecho, incluso McLane trabajó hacia 1930-35 en retículos de matrices y semimodularidad (axiomas de intercambio); cuando inventó las categorías, su interés por los retículos había decaído, y consideraba que la teoría de retículos era un tema demasiado especializado con cuestiones demasiado especializadas. [Más adelante se habla de la oposición categorías/retículos].

Curiosamente, uno de los nombres de los entramados en la década dorada era "estructuras", ya que se esperaba que la estructura de los grupos (y otras construcciones algebraicas) se descubriera por completo estudiando el entramado de congruencias. Para los grupos abelianos finitos sabemos ahora que esto funciona razonablemente bien, pero no perfectamente; para los grupos no abelianos finitos simplemente se pierde demasiada información (todos los grupos simples tienen el mismo entramado trivial de congruencias...)

Pero incluso en esa década, ya existía la pregunta de G. D. Birkhoff a su hijo Garrett: "¿qué se puede hacer con los entramados que no se puede hacer sin ellos?". A G. Birkhoff la pregunta le pareció inútil, ya que el lenguaje de los entramados le resultaba tan natural que no podía ni pensar en evitarlo. Mi respuesta a medias, incluso ahora, es plantear la pregunta: con los entramados no se consiguen principalmente cosas nuevas, sino una mejor manera de entender y "compactar" las cosas viejas. [¿Cómo se pueden colocar nuevos objetos en una habitación con todo el espacio ocupado? Se libera algo de espacio compactando. Tal vez sea lo único que tienen en común los dos significados matemáticos de la palabra "celosía"].

Este uso de los entramados también está relacionado con el hecho de que, aunque los preórdenes y los entramados aparecen en todas partes, la teoría de tales estructuras no es tan importante: esa teoría rara vez se utiliza para demostrar cosas fuera de sí misma, se suelen preferir otras herramientas y otros lenguajes. Una analogía extrema: intente explicar por qué las matemáticas son importantes para una persona experimentada que vive sin matemáticas (excepto el nivel de aritmética del dinero); muy posiblemente, no se producirá ningún cambio en el estilo de vida.

la noción de marco generaliza la noción de red de conjuntos abiertos de un espacio topológico. Los resultados y las pruebas en topología sin puntos son, en su mayoría, teóricos de la red.

El primero en publicar sobre geometrías sin puntos fue probablemente von Neumann; su artículo en el PNAS cita ideas sin puntos de Alexander, pero parece que los topólogos esperaron unos 30 años o más para publicar algo sobre topología sin puntos.

Esto me da pie para decir que los marcos de la topología sin puntos no son verdaderos "espacios topológicos sin puntos". A lo sumo pueden considerarse espacios sobrios sin puntos, pero seguramente no son una generalización de los espacios topológicos. Para generalizar los espacios topológicos, se pueden tomar pares: un álgebra booleana completa (que no tiene por qué ser atómica, pero cuando lo es se identifica con el conjunto de sus átomos, un "sustrato puntual") dotado de un subcuadro (la red de subconjuntos abiertos).

Sin embargo, también existe una dificultad al considerar los marcos como espacios sobrios sin sentido: ¿cuál es la incrustación del marco en un álgebra booleana completa (el conjunto sin sentido)? Son posibles muchas incrustaciones, pero ninguna de ellas es universal (adjunto del functor olvido, construcción libre) para el concepto de morfismo que los categoristas han predeterminado como el correcto. Así que no importa que haya construcciones explícitas, concretas, sintácticamente agradables, que produzcan un álgebra booleana completa ampliando un marco dado (por ejemplo, tomar el álgebra booleana generada libremente y luego la terminación por cortes): ninguna de ellas será considerada suficientemente buena.

Por el contrario, un estructuralista como yo (más en el oposición entre categorías y estructuras más adelante) considerará cada una de las posibles incrustaciones explícitas como suficientemente buenas, cada una en su contexto. En otras palabras, un estructuralista (como los fundadores de Bourbaki) fija los objetos (y por tanto los isomorfismos entre ellos) y luego cambia el concepto de morfismos más generales según el problema a tratar; en cambio, el punto de vista categórico tiene que empatizar los morfismos sobre los objetos (la composición de morfismos por sí sola define una categoría; los objetos por sí solos no); tratar casos en los que se cambia el concepto de morfismo no funciona de la misma manera elegante y económica que funciona un estudio mediante categorías de casos en los que basta con un concepto fijo de morfismos.

No es de extrañar que la forma que utiliza Bourbaki para tratar su versión del teorema del functor adjunto se adapte bien a los casos en los que los morfismos pueden cambiarse. No es sorprendente que a McLane no le gustara. No me sorprende que Borubaki tenga razón y McLane esté equivocado (aunque el propio A. Weil escribió que las categorías tienen un contenido matemático más rico que las estructuras de Bourbaki).

Tal vez sea sorprendente que a los fundadores de Bourbaki no les gustaran los entramados (compárese también lo que escribe Rota sobre la visión del álgebra de Emil Artin, en evidente resonancia con A. Weil. Tampoco, en el lado opuesto, a Grothendiek le gustaban los entramados distributivos, pero al menos su escuela reinventó inmediatamente la parte necesaria de su teoría en su propio lenguaje, del mismo modo que von Neumann reinventaba la integración de Lebesgue cada vez que necesitaba algo de esa teoría: para esa gente, reinventar es más rápido que citar).

A pesar de que los fundadores de Bourbaki declararon las estructuras de orden como "estructuras madre" al mismo nivel que las estructuras algebraicas y topológicas, luego se desentendieron de ellas salvo para algunos ejercicios y el tratamiento general de algunas (bueno órdenes, lema de Zorn) en el primer libro sobre lógica y conjuntos (un libro que considero muy bonito en su forma original [elección en la metateoría, pares ordenados como concepto primitivo, no necesidad de sustitución cuando el objetivo es sólo definir estructuras, . ..] y que a los lógicos y a los teóricos de conjuntos, por el contrario, no les gusta en absoluto; véanse los fuertes comentarios de Mathias). Así que los números reales no son definidos por Bourbaki hasta un desarrollo completo de la topología general (con estructuras uniformes y grupos topológicos); la conocida definición que sólo utiliza el álgebra y el orden total relativamente completo no se consideró adecuada.

Así se tiene que la teoría de celosía no es del agrado ni de Bourbaki ni de los categoristas (ellos usan los preórdenes y sus casos especiales casi sólo como ejemplos "fáciles": categorías con conjuntos hom localmente casi lo más pequeños posibles, de la misma manera que ven a los monoides como categorías con un solo objeto).

Conclusión: con el rechazo posterior a la Segunda Guerra Mundial de dos clases tan eminentes de matemáticos, no hay esperanza de ninguna centralidad para la teoría de retículos.

Sin embargo, la aversión de Bourbaki por los entramados es en cierto modo desafortunada, ya que los entramados proporcionarían bonitos ejemplos del contraste entre el punto de vista no categórico de los fundadores de Bourbaki sobre el concepto de estructura matemática, y el punto de vista de los categoristas modernos (las categorías dan la verdadera visión estructural, dicen. Yo digo, en cambio, que el punto de vista estructural y el categórico están en afortunada oposición, siendo complementarios; incluso si cada uno de los dos puntos de vista pudiera ser técnicamente subsumido en el otro, es mejor no hacerlo y utilizar los diferentes puntos de vista como son: diferentes. Incluso los categoristas admiten que algunos lados de la teoría de conjuntos se ven mejor no con la teoría de categorías [ejemplos: recursión para conjuntos bien fundados; axioma de sustitución]; el siguiente paso sería extender esto a las estructuras, en los casos en que los isomorfismos son fijos pero los morfismos más generales cambian con el problema a estudiar para las estructuras. Espero que algún día se reconozca esto. Por otra parte, la propia definición de estructura en Bourbaki no gusta a los categoristas; me parece extraño que no noten que la "escala de conjuntos" utilizada por Bourbaki para definir las estructuras es precisamente una representación de un topos libre en el topos de una teoría de conjuntos)

Entonces, ¿por qué es lamentable que a Bourbaki no le gustaran los entramados? Porque los entramados proporcionan un muy buen ejemplo en el que para los morfismos (todos con la misma iso) hay muchos conceptos diferentes, cada uno de ellos útil en un contexto diferente. De la misma manera que para los espacios topológicos uno tiene muchos tipos de morfismos (mapas continuos, mapas abiertos continuos, homeomorfismo local; mapas continuos cerrados, mapas propios; mapas cocientes; ... ) del mismo modo que se tienen muchos tipos de morfismos entre retículos (o incluso preórdenes), siendo algunos más algebraicos, otros relacionales, otros casi topológicos: mapas isótonos (o mapas isótonos y antítonos; también en la secuela se pueden extender los morfismos para incluir el dual); mapas residuados (los casos arquetípicos de las situaciones adjoint más simples); homomorfismos [semi]lattice; homomorfismos [semi]lattice completos; mapas que preservan encuentros finitos y uniones crecientes; . ..

Además, Birhkoff fue también el padre del concepto de critptoisomorfismo: esencialmente, y la extensión del concepto de equivalencia definitoria (de estructuras de primer orden) a estructuras de orden superior.

[A los categóricos no les gusta tanto esto: Adamek, Herrlich, Strecker insisten en que los "isomorfismos concretos" de las categorías son definibles, pero las "equivalencias concretas" no lo son. Por el contrario, muchos casos de criptoisomorfismos por medio de construcciones definidas sintácticamente (Hodges, teoría de modelos, diría: interpretaciones o al menos construcciones de palabras, tal vez usando parámetros en alguna estructura rígida fija, como los números naturales o reales, o el primer cardinal incobrable inaccesible / sus números surrealistas de Conway ... ) sí procuran equivalencias concretas, factorizables usando dos retracciones de estructuras hacia las normalizadas (por ejemplo: los espacios afines con axiomas de Hilbert pueden normalizarse a los casos en los que las líneas y los planos son conjuntos de puntos y la incidencia está dada en teoría de conjuntos; los espacios afines definidos por una acción simplemente transitiva de un espacio vectorial sobre un conjunto de puntos pueden normalizarse a los casos en los que el grupo de traslaciones es un grupo de biyecciones del conjunto de puntos, y el campo sesgado de escalares es un subring de endomorfismos del grupo abeliano de traslaciones) y un isomorfismo concreto de categorías].

Los criptoisomorfismos (no sólo los conocidos sobre matroides) ilustran la complementariedad de los puntos de vista estructural y categórico. Cuando se demuestra que las definiciones de estructuras aparentemente muy diferentes (mi ejemplo favorito: retículos modulares complementados; anillos regulares de von Neumann) son esencialmente la misma cosa (criptoisomorfismo), se tiene automáticamente (por la forma sintáctica de las construcciones) una equivalencia de "categorías de objetos" (categorías de estructuras en las que todos los morfismos son iso); ¿dan equivalencia para tipos más generales de morfismos? La forma sintáctica de las construcciones suele dar una respuesta automática. En cualquier caso, si uno tiene una equivalencia para tipos más generales de morfismos que uno usaría ingenuamente en los dos lados, bien; si no, aún mejor ya que esto significa que uno tiene muy diferentes puntos de vista para estudiar la el mismo objetos. De ahí que los criptoisomorfismos (y los ejemplos de la teoría de la red) sean un buen complemento del concepto de estructura de Bourbaki, ya que insisten explícitamente en que el concepto de isomorfismo está fijado de forma única por el concepto de estructura, pero el concepto de morfismo no lo está.

[Advertencia: desde este punto de vista, la categoría que tiene como morfismos las clases de homotopía de los mapas continuos entre espacios topológicos no es una categoría de morfismos entre espacios topológicos (los isomorfismos son más generales que los homeomorfismos): es una categoría de objetos (que no son estructuras en la definición de Bourbaki) estrictamente más débiles que los espacios topológicos, del mismo modo que los espacios metrizables son más débiles que los espacios métricos, los espacios completamente regulares, es decir, los uniformes, son estrictamente más débiles que los espacios uniformes...]. es decir, los espacios uniformizables son estrictamente más débiles que los espacios uniformes, los manifiestos paracompactos diferenciables son estrictamente más débiles que los manifiestos riemannianos, ...]

Gelfand enumera los trabajos "no triviales", en su opinión, de la teoría de retículos: Dedekind, Weyl (axiomatización de la geometría proyectiva), von Neumann, Gelfand-Ponomarev. No puedo dejar de citar (la traducción es mía) "Hay dos formas de trabajar: los entramados y las categorías. Los entramados son más convenientes, pero están desacreditados por los especialistas en álgebra general".

Parece un poco irónico que la dualidad de la piedra no aparezca en la lista de Gelfand :)

La cita de Gelfand es maravillosa y esclarecedora (compárese también el final del artículo de Rota en memoria de Birkhoff).

Todos los ejemplos de Gelfand pertenecen a la teoría de los entramados modulares (en realidad, mucho más que modulares, véase más adelante). La dualidad de Stone (y su generalización por la dualidad de Gelfand en el caso conmutativo) por el contrario pertenece a la teoría distributiva.

Dos aspectos esenciales del trabajo de Stone son (1) la equivalencia de definición entre los "retículos distributivos complementados" y los "anillos asociativos con 1 donde cada elemento es idempotente" (definiciones criptoisomórficas de las álgebras booleanas); (2) la dualidad de las estructuras anteriores con las compactas totalmente desconectadas T $_2$ (por medio de la construcción del espectro, en varias formas que son equivalentes en este caso particular pero no equivalentes en casos más generales: ideales primos; ideales máximos; estados libres de dispersión; estados puros; ...; y finalmente, el espectro de la conmutativa $C^*$ -obtenida como terminación métrica del anillo de funciones escalonadas sobre el álgebra booleana).

En el caso conmutativo / distributivo / clásico, la parte (1) es bastante trivial. ¿Qué ocurre en el caso irreduciblemente no conmutativo / irreduciblemente modular no distributivo / irreduciblemente cuántico? Esta parte se convierte en el teorema de coordinación de von Neumann, un resultado mucho, mucho más profundo. [Por cierto, en su libro von Neumann tiene una clara distinción de los tres niveles: existencia de la coordinación ( $n>3$ ), la unicidad hasta el isomorfismo ( $n>2$ ), la unicidad del isomorfismo de anillo que induce un isomorfismo de red ( $n>1$ ). No tenía el concepto de categoría, pero tenía un concepto clarísimo de equivalencia categórica al menos cinco años antes de que se definieran las categorías. No es de extrañar que los categoristas citen a Stone, pero no a von Neumann, como precursor de los conceptos categóricos, e incluso no les gusta la teoría de conjuntos de von Neumann que utilizaba funciones como concepto primitivo]. ¿Qué ocurre con la parte (2)? Se convierte en el teorema de incrustación de Frink (caso complementado) - Moushi\~no (caso semicomplementado seccionalmente) - J\'onsson (extensión de la propiedad universal de Stone para la incrustación). Sin embargo, esta parte juega un papel menor en la teoría no conmutativa (nota: no hay un análogo ortomodular de tal incrustación, al menos no hay uno "fácil" aunque existan intentos no tan útiles); (1) es la única manera conocida de tener algo en el caso no conmutativo que se parezca a la equivalencia de Gelfand (¡no dualidad esta vez!) entre unital conmutativo $C^*$ -y un marco (los conjuntos abiertos del espectro) [ejemplo: la equivalencia de von Neumann entre factores finitos y "geometrías continuas con probabilidad de transición"].

Así que, en cierto sentido, citar la dualidad de Stone en lugar del trabajo de von Neumann sería una restricción a un caso conmutativo fácil en lugar de una indicación hacia posibilidades más profundas de la teoría de la medida no conmutativa (con el álgebra de von Neumann y su ortolatriz de proyección), la topología no conmutativa (utilizando la $C^*$ -algebras), geometría no conmutativa, ...

La lista de Gelfand no sólo es eficaz para las álgebras de operadores y la física cuántica; también es útil para el nivel más elemental del álgebra lineal y la geometría.

Todos los categóricos saben que los dos idiomas siguientes son equivalentes:

[1] el lenguaje del álgebra lineal (sumas y productos): módulos sobre anillos

[2] el lenguaje de las categorías abelianas.

La equivalencia de los lenguajes viene dada por el teorema de incrustación de Freyd - Mitchell (representación de una pequeña categoría abeliana mediante [todos los homomorfismos de módulos en] una clase de módulos estables para sumas directas finitas y núcleos, imágenes, coimágenes de homomorfismos). Una lista finita (y bastante pequeña) de axiomas (incluso universales de Horn de primer orden) en el lenguaje de las categorías bicartesianas es suficiente para implicar todas las propiedades de ese tipo sintáctico válidas en cada "modelo deseado"; más aún, caracterizan los "modelos deseados" hasta la equivalencia.

Pero hay un tercer nivel, equivalente a los dos primeros. Está bien olvidado (sobre todo por los categoristas, ver más adelante) y es viejo: el nivel de la geometría sintética. Es un nivel que no le gustaba a Bourbaki (ver el libro de Dieudonné, álgebra lineal y geometría elemental). Adivinaron: es el nivel de la teoría de celosía (algunos casos especiales de la modular).

G. Hutchinson, redescubriendo de forma independiente los métodos utilizados por von Neumann en la primera (y más fácil) parte del teorema de coordinación, demostró que lo que se puede hacer con las categorías abelianas (en su lenguaje de primer orden) es exactamente lo que se puede hacer con los siguientes tipos de celosías (abstracción de subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial de dimensión infinita): celosías modulares con 0, donde cada intervalo $[a,b]$ es proyectiva (cadena finita de prespectividades $[x\wedge y,y]$ a $[x, x\vee y]$ ) a un intervalo inicial $[0,c]$ y tal que cada elemento $x$ se puede duplicar: hay $z,y$ tal que $x,y,z$ generan una subred 0 que es una línea proyectiva con tres puntos

    .
  / | \\ 
x   y   z
  \\ | /
    0                                      

es decir $x,y,z$ son independientes con la misma unión en pares (cada uno es un eje de perspectiva para los otros dos, por lo que $x,y,z$ son "equidimensionales" con la unión $x\oplus y=y\oplus z=z\oplus x$ que duplica la dimensión).

Tres axiomas fáciles y naturales en el lenguaje clásico de la geometría sintética. Cuando dos categoristas, Carboni y Grandis, hicieron esencialmente lo mismo (recuperar una categoría abeliana a partir de los "espacios proyectivos" asociados a sus objetos) eligieron naturalmente utilizar el lenguaje categórico. Una media página completa en un documento muy especializado sólo para enunciar sus axiomas, y tener sólo especialistas para desentrañarlos. Sí, se puede hacer todo en el lenguaje categórico; pero esto no significa que el lenguaje categórico sea el mejor para cada tarea.

Citando a Gelfand una vez más: "Hay dos formas de trabajar: los entramados y las categorías. Los entramados son más cómodos, pero están desacreditados por los especialistas en álgebra general."

Aunque los entramados aparecen por todas partes en las matemáticas, la teoría de entramados no parece ser un área muy popular de las matemáticas, ya que por alguna razón los matemáticos no están demasiado interesados en los entramados como estructuras algebraicas.

el problema de la teoría de retículos es que, aunque los retículos aparecen en todas partes en las matemáticas, suelen aparecer como objetos y no como una categoría.

Por lo general, sólo tenemos un functor que tiene sólo lattices en su rango.

Los matroides son "la misma cosa" que los retículos semimodulares atomísticos finitos. Pero esto no es una equivalencia de categorías - no hay suficientes flechas en el lado de la red.

Llegados a este punto, es fácil adivinar mi diagnóstico: el problema surge realmente cuando uno espera categorías, pero en su lugar obtiene estructuras (con isomorfismos fijos, pero no con morfismos predeterminados). Y los entramados son un caso típico de estructuras en las que es mejor no fijar un tipo único de morfismos, si uno quiere utilizar estas estructuras de la mejor manera posible.

Si y cuando el punto de vista "estructural" deje de estar ofuscado por un punto de vista categóricamente forzado, tal vez entonces alguien pueda volver a tener alguna esperanza en la teoría reticular. Pero seguramente no las esperanzas hiperbólicas de la década de 1930-1940. Pero, sobre todo, ¿qué es mejor: intentar hacerlo todo en un solo lenguaje (y que Zariski le recuerde a Grothendieck que en los viejos tiempos se esperaba que uno aprendiera más de un lenguaje) o intentar aprender más lenguajes y utilizarlos, cada uno cuando le parezca más adecuado?

Answer 2

Aquí es el enlace al artículo de Rota en los Notices que deja claro que él, al menos, pensaba que la teoría de la red es fundamental.

Según la artículo de wikipedia sobre von Neumann, Garrett Birkhoff escribe: "La mente brillante de John von Neumann brilló sobre la teoría de retículos como un meteoro"[25] Von Neumann trabajó en la teoría de retículos entre 1937 y 1939. Von Neumann proporcionó una exploración abstracta de la dimensión en celosías topológicas modulares complementadas: "La dimensión está determinada, hasta una transformación lineal positiva, por las dos propiedades siguientes. Se conserva mediante mapeos de perspectiva ("perspectividades") y se ordena por inclusión. La parte más profunda de la prueba se refiere a la equivalencia de la perspectividad con la "proyectividad por descomposición", de la cual un corolario es la transitividad de la perspectividad"[25] (La referencia [25] es del artículo de wikipedia).

Además, "[E]n el caso general, von Neumann demostró el siguiente teorema básico de representación. Cualquier red modular complementada L que tenga una "base" de n4 elementos en perspectiva, es isomorfa con la red (R) de todos los ideales principales de la derecha de un anillo regular adecuado R. Esta conclusión es la culminación de 140 páginas de álgebra brillante e incisiva que implica axiomas completamente nuevos. Cualquiera que desee obtener una impresión inolvidable del filo de la navaja de la mente de von Neumann, sólo tiene que tratar de seguir esta cadena de razonamiento exacto por sí mismo, dándose cuenta de que a menudo cinco páginas fueron escritas antes del desayuno, sentado en la mesa de escribir de la sala de estar en bata"[25].

También trabajaron en la teoría de retículos grandes nombres como Dedekind, Stone, Tarski, Birkhoff, MacLane, Malcev, Schutzenberger y Dilworth. Hubo libros de Halmos tanto sobre álgebras booleanas como sobre lógica algebraica. Y luego están los trabajos de Rota y otros sobre geometría combinatoria y entramados. El artículo de Rota señala que Gelfand también realizó trabajos relacionados con la teoría de retículos.

Así que, ciertamente, en su momento no estuvo fuera de moda trabajar en la teoría de retículos (si utilizamos la "definición" de que las matemáticas importantes son las que hacen los matemáticos importantes).

Answer 3

No pondría a los entramados (en el sentido del álgebra universal) en un papel "central" para toda la matemática. Tampoco lo haría con la integral de Denjoy, ni con las distribuciones, ni con las funciones generadoras, ni siquiera con los conjuntos ni con las categorías. Todas ellas son herramientas o formas de pensar que con frecuencia se adaptan o relacionan con otras partes de las matemáticas. La interacción de las distintas nociones es una razón (consciente o inconsciente, varía según los individuos) para estudiar y desarrollar las matemáticas, en mi no tan humilde opinión.

Yo diría que la teoría de retículos es esencial para los campos de la lógica y el álgebra que he estudiado. Las conexiones de Galois entre las clases de modelos y ciertos conjuntos deductivamente cerrados de teorías que resultan en retículos de variedades y otras clases, las propiedades algebraicas que resultan de las características de los retículos de congruencia de una clase de álgebras, la clasificación mediante la teoría de la congruencia domesticada de las álgebras finitas en cinco tipos, las formas de lógica algebraica inspiradas en Heyting y otras álgebras reticulares, son por sí solas razón suficiente para que muchos estudien el tema.

Cuando vamos a las terminaciones de Dedekind-MacNeille, nos damos cuenta de que muchas desigualdades que implican máximos y mínimos son operaciones de entramado de otra forma, y aplicamos la teoría de entramados de varias maneras a la teoría de números, a las ecuaciones diferenciales parciales, a la complejidad computacional, y vemos cómo tal concepto es útil para la propia esfera matemática, entonces uno puede decir (o no) "Los entramados son fundamentales para MI matemática".

Gerhard "Matemáticas para uno, para todos" Paseman, 2013.12.18

Answer 4

Respuesta a la pregunta 1. En "The Many Lives of Lattice Theory", Gian-Carlo Rota escribió sobre "la repetida predicción del profesor [I. M.] Gelfand de que la teoría de entramados desempeñará un papel destacado en las matemáticas del siglo XXI". Así que será mejor que se suba a bordo ahora.

Von Neumann pasó unos años trabajando en la teoría de retículos (escribiendo "Geometría continua"), creando con el profesor Birkhoff la lógica de la mecánica cuántica. Hoy en día existe el trabajo de gente como Fotini Kalamara Markopoulou, del Instituto Perimeter, a quien Scientic American "aclamó como una de las físicas jóvenes más prometedoras del mundo". Ella utiliza ciertos tipos de retículos distributivos llamados álgebras de Heyting.

Si nos remontamos a mediados del siglo pasado, Horn también trabajó sobre las álgebras de Heyting. (De hecho, tenía muchos trabajos que trataban sobre retículos).

Me introduje en la teoría de entramados a través de "Álgebra" de Birkhoff y Mac Lane, e imagino que mucha gente que leyó ese libro a lo largo de las décadas también se vio influenciada de alguna manera, por ese y los libros de Cohn, que adoptaron un enfoque algebraico universal. Tarski trabajó con gente como C. C. Chang tratando con álgebras generales, lo que necesariamente implicaba la teoría de retículos y la teoría de órdenes. También trabajó con Bjarni Jonsson; cuando mencioné su nombre a un matemático islandés que conocí en la escuela de posgrado, éste se entusiasmó mucho...

Encontrará un par de artículos sobre la teoría de celosía de gente como Shannon; los primeros artículos del ganador del premio Turing, Hartmanis, fueron sobre la teoría de celosía. El primer artículo del premio Nobel de 2012, Al Roth, fue sobre teoría de retículas.

Detrás de lo que oí que era el artículo más descargado en JSTOR, "College Admissions and the Stability of Marriage", de Gale y Shapley, está la teoría de celosía; Conway demostró que el conjunto de matrimonios estables forma una celosía distributiva.

Dana Scott, otra ganadora del Premio Turing, avanzó la idea de los "tipos de datos como entramados".

Se encuentran muchas aplicaciones de la teoría de celosía; por ejemplo, en el campo de la imagen, una figura destacada de la morfología matemática me dijo que la teoría de celosía es esencial. El verano pasado incluso me enteré de que la policía de Ámsterdam está utilizando la teoría de celosía para la elaboración de perfiles de terroristas. Un grupo del Laboratorio Nacional de Los Álamos también estaba utilizando la teoría de celosía en un contexto de terrorismo. La teoría reticular (o teoría del orden) también se ha utilizado en sociología, química, epidemiología, lingüística.... Sólo para dejarte un ejemplo, puedes buscar una subvención de la Agencia de Protección Medioambiental de 749.226 dólares de 2013 que trata sobre "entramados de Galois."

Answer 5

Aquí En la página 38 hay unas notas del seminario de Israel Gelfand (1986; en ruso) donde Gelfand enumera los trabajos "no triviales", en su opinión, sobre la teoría de la red: Dedekind, Weyl (axiomatización de la geometría proyectiva), von Neumann, Gelfand-Ponomarev. No puedo dejar de citar (la traducción es mía) "Hay dos formas de trabajar: los entramados y las categorías. Los entramados son más convenientes, pero están desacreditados por los especialistas en álgebra general".