¿Hay algún general conjeturas/propiedades (en el Programa de Langlands) para automorphic representaciones de $GL_n$ que todavía están abiertas para $n=1$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La cuestión está sujeto a la interpretación, debido a que el programa de Langlands nunca fue claramente delimitado conjunto de conjeturas, para empezar, y además, muchas cosas que se han añadido durante las décadas siguientes, y la respuesta depende de si quieres considerar estas innovaciones como parte del programa de Langlands o no.
Creo sin embargo que, en esencia, todo lo que en el original programa de Langlands (de los 70) es conocida por $GL_1$, y en realidad era conocida mucho antes de Langlands comenzó a trabajar en su programa. Cada instancia de Langlands functoriality que involucran sólo a $GL_1$ resultados fácilmente de un campo de Clase de teoría. Como la reciprocidad, si la existencia de la Langlands grupo es aún desconocida, sólo su abelianization asuntos de $GL_1$, y sabemos que, de nuevo por CFT, lo que esta abelianization es.
Si añadimos a la Langlands programa de la correspondencia de la algebraicas automorphic formas con representaciones de Galois, como por ejemplo formulado en Clozel 1988 papel "Motivos et Formes Automorphes" en Clozel-Milne, a continuación, de nuevo el caso de $GL_1$ era conocido mucho antes, y debido a André Weil (ese es su teoría de la algebraicas Grössencharacters).
Pero si usted está dispuesto a considerar la teoría de la $p$-ádico automorphic formas y sus familias como parte de la Langlands programa, entonces hay una cosa que es todavía desconocido: la dimensión de la eigenvariety de automorphic formas para $GL_1$ sobre un campo de número. La determinación de esta dimensión es equivalente a probar Leopoldt de la conjetura.
