Posibles problemas en el libro de Shelah "Aritmética Cardinal"

Question

Encontré algunos posibles problemas en la observación 5.3(7) del capítulo II del libro de Shelah "Aritmética Cardinal" (página 86). Por comodidad, cito aquí el resultado y la prueba del libro (junto con la Observación 5.3(4) que se utiliza en la prueba de 5.3(7)):

Observación 5.3

(4) Si $\lambda > \kappa \left( \geq \theta > \sigma \right)$ , $\sigma$ regular entonces $$ \operatorname{cov} \left( \lambda , \kappa , \theta , \sigma \right) = \sum_{\mu \in \left[ \kappa , \lambda \right]} \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , \theta , \sigma \right) . $$

(7) Si $\lambda \geq \kappa \geq \theta > \sigma = \operatorname{cf} (\sigma)$ , $\operatorname{cf} (\kappa) \geq \theta$ , $\lambda_{0} = \lambda$ , $$ \lambda_{n+1} = \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , \tau^{+} , \tau \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} , \operatorname{cf} (\mu) = \tau \in \left[ \sigma, \theta \right) \right\rbrace $$ entonces $$ \operatorname{cov} \left( \lambda , \kappa , \theta , \sigma \right) \leq \bigcup_{n < \omega} \lambda_{n} . $$

Prueba: 7) Que $\chi$ sea lo suficientemente regular, por inducción en $n$ elija $N_{n} \prec \left( H(\chi) , \in \right)$ de cardinalidad $\lambda_{n}$ tal que $$ \left\lbrace N_{0}, \ldots , N_{n-1}, \lambda , \kappa , \theta , \sigma \right\rbrace \cup \left( \lambda_{n} + 1 \right) \subseteq N_{n} , $$ y $$ \mathcal{P}_{n} = \left\lbrace A \in N_{n} : \left| A \right| < \kappa , A \subseteq \lambda \right\rbrace $$ y $\mathcal{P}_{\omega} = \bigcup_{n < \omega} \mathcal{P}_{n}$ . Supongamos que $X \subseteq \lambda$ , $\left| X \right| < \theta$ y para no $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}_{\omega}$ , $\left| \mathcal{P} \right| < \sigma$ es $X \subseteq \bigcup_{A \in \mathcal{P}} A$ ; dejar que $I$ sea el $\sigma$ -completo ideal en $X$ generado por $\left\lbrace X \cap A : A \in \mathcal{P}_{\omega} \right\rbrace$ , así que $X \notin I$ . Dejemos que $$ \theta_{n} = \min \left\lbrace \left| \mathcal{P} \right| : \mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}_{n} , \bigcup_{A \in \mathcal{P}} A \cap X \notin I \right\rbrace ; $$ ahora $\theta_{n} \leq \left| X \right| < \theta$ y $\operatorname{cf} \left( \theta_{n} \right) \geq \sigma$ y $\theta_{n+1} < \theta_{n}$ (uso 5.3(4) aplicado a $\operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , \theta_{n} , \theta_{n} \right)$ ), contradicción.
$\square$

En primer lugar, es fácil demostrar que $\theta_{n} \leq \left| X \right| < \theta$ , $\operatorname{cf} \left( \theta_{n} \right) \geq \sigma$ y $\theta_{n+1} \leq \theta_{n}$ . Para demostrar que $\theta_{n+1} < \theta_{n}$ , debemos aplicar la Observación 5.3(4) a $\operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right)$ ( $\operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , \theta_{n} , \theta_{n} \right)$ es un número de cobertura "poco interesante": $\operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , \theta_{n} , \theta_{n} \right) \leq \lambda_{n}$ - considerar a la familia ${[\lambda_{n}]}^1$ ).

Ahora, la mayor dificultad es que necesitamos $\operatorname{cf} (\theta_{n}) = \theta_{n}$ utilizar 5.3(4), pero no veo cómo demostrarlo.

Suponiendo que $\operatorname{cf} (\theta_{n}) = \theta_{n}$ En el caso de 5.3(7), escribí una prueba detallada: aplicando 5.3(4), podemos demostrar que $$ \operatorname{cov} \left( \left| \mathcal{P}_{n} \right| , \kappa , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) \leq \operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) \leq \lambda_{n+1} = \left| N_{n+1} \right| , $$ y luego usar esto para "cubrir" el conjunto en ${[\mathcal{P}_{n}]}^{\theta_{n}}$ que atestigua la definición de $\theta_{n}$ con un conjunto en ${[\mathcal{P}_{n+1}]}^{< \theta_{n}}$ .

Mis preguntas son: (respuestas específicas al caso $\sigma = \aleph_0$ también son bienvenidos)

1) ¿Es posible demostrar que $\operatorname{cf} (\theta_{n}) = \theta_{n}$ ?

2) ¿Es posible demostrar que $\operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) \leq \lambda_{n+1}$ cuando $\operatorname{cf} (\theta_{n}) < \theta_{n}$ ?

3) ¿Es posible demostrar que la secuencia $(\theta_{n})$ no es finalmente constante?

Algunas observaciones:

i) Esta es mi prueba de que $\operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) \leq \lambda_{n+1}$ , si $\operatorname{cf} (\theta_{n}) = \theta_{n}$ :

$$ \operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) = \sum_{\mu \in \left[ \kappa , \lambda_{n} \right]} \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) \leq $$ $$ \lambda_{n} \cdot \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} \right\rbrace . $$

Ahora, es fácil demostrar que $\operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) = \operatorname{cf} (\mu)$ cuando $\operatorname{cf} (\mu) \neq \theta_{n}$ . Así,

$$ \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} \right\rbrace \leq $$ $$ \lambda_{n} + \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} , \operatorname{cf} (\mu) = \theta_{n} \right\rbrace = $$ $$ \lambda_{n} + \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \operatorname{cf} (\mu) \right)}^{+} , \operatorname{cf} (\mu) \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} , \operatorname{cf} (\mu) = \theta_{n} \right\rbrace \leq $$ $$ \lambda_{n} + \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \operatorname{cf} (\mu) \right)}^{+} , \operatorname{cf} (\mu) \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} , \sigma \leq \operatorname{cf} (\mu) < \theta \right\rbrace = $$ $$ \lambda_{n} + \lambda_{n+1} = \lambda_{n+1}, $$ por lo que $$ \operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , {\left( \theta_{n} \right)}^{+} , \theta_{n} \right) \leq \lambda_{n} \cdot \lambda_{n+1} = \lambda_{n+1} . $$ $\square$

ii) Es más conveniente definir $$ \lambda_{n+1} = \lambda_{n} + \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \operatorname{cf} (\mu) \right)}^{+} , \operatorname{cf} (\mu) \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} , \sigma \leq \operatorname{cf} (\mu) < \theta \right\rbrace . $$

iii) Si $\eta$ es cualquier cardenal con $\sigma \leq \operatorname{cf} (\eta) = \eta < \theta$ , entonces podemos demostrar que $$ \operatorname{cov} \left( \lambda_{n} , \kappa , \eta^+ , \eta \right) \leq \lambda_{n+1} $$ (mismo argumento de mi observación (i)).

iv) La prueba funciona cuando $\sigma < \theta \leq \aleph_{\sigma}$ , ya que $\sigma \leq \operatorname{cf} (\xi) \leq \xi < \aleph_{\sigma}$ implica $\operatorname{cf} (\xi) = \xi$ .

v) Cuando $\sigma = \aleph_0$ (el caso que me interesa): si definimos $$ \theta_{\omega} = \min \left\lbrace \left| \mathcal{P} \right| : \mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}_{\omega} , \bigcup_{A \in \mathcal{P}} A \cap X \notin I \right\rbrace , $$ entonces podemos demostrar que $\theta_{\omega}$ es regular. Si la secuencia $(\theta_{n})$ es finalmente constante, entonces hay $k \in \omega$ tal que $\theta_{n} = \theta_{k}$ para cualquier $n \geq k$ y $$ \aleph_0 = \sigma \leq \operatorname{cf} (\theta_{\omega}) = \theta_{\omega} \leq \operatorname{cf} (\theta_{k}) < \theta_{k} < \theta . $$

Un argumento más elaborado muestra que $\operatorname{cf} (\theta_{k}) = \aleph_0$ . Por lo tanto, $$ \aleph_0 = \sigma = \operatorname{cf} (\theta_{\omega}) = \theta_{\omega} = \operatorname{cf} (\theta_{k}) < \theta_{k} < \theta . $$

vi) Teniendo en cuenta la observación (iv), todo funciona para $$ \operatorname{cov} \left( \aleph_{\omega + \omega} , \aleph_{\omega + 1} , \aleph_{\omega} , \aleph_0 \right) . $$ ¿Ocurre lo mismo con $$ \operatorname{cov} \left( \aleph_{\omega + \omega} , \aleph_{\omega + 1} , \aleph_{\omega + 1} , \aleph_0 \right) ? $$

Answer 1

He encontrado una manera de demostrar en detalle una versión ligeramente más débil de la Observación 5.3(7) citada anteriormente:

Definición Dado un ordinal $\alpha$ y los cardenales $\mu$ , $\eta$ , $\theta$ y $\sigma$ , con $\eta \geq \theta$ , defina $$ \operatorname{s}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} = \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \nu , \nu , {\left( \operatorname{cf} (\nu) \right)}^{+} , \operatorname{cf} (\nu) \right) : \eta \leq \nu \leq \mu , \sigma \leq \operatorname{cf} (\nu) < \theta \right\rbrace $$ y $$ \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \alpha \right) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \mu , & \textrm{if } \alpha = 0 ; \\ \sup \left\lbrace \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \beta \right) : \beta < \alpha \right\rbrace , & \textrm{if } \alpha \textrm{ is a limit ordinal;} \\ \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \beta \right) + \operatorname{s}_{\operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \beta \right) , \eta , \theta , \sigma} , & \textrm{if } \alpha = \beta + 1 . \end{array} \right. $$

Propuesta Dejemos que $\mu$ , $\eta$ , $\theta$ y $\sigma$ sean cardenales tales que $$ \mu \geq \eta = \operatorname{cf} (\eta) \geq \theta > \sigma = \operatorname{cf} (\sigma) \geq \aleph_{0} . $$ Entonces, $$ \operatorname{cov} \left( \mu , \eta , \theta , \sigma \right) \leq \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \omega^{2} \right) . $$

Necesitaba esta proposición en el siguiente documento, donde incluí, para comodidad del lector, esta proposición como Proposición 3.17, con una prueba detallada.

A.M.E. Levi. Reflexión para el grado de lindelöf y los cardenales inaccesibles , Acta Mathematica Hungarica 144(1) (2014), 182-195. doi: 10.1007/s10474-014-0442-0

Se puede ver una versión manuscrita aquí .

Cuando $\sigma = \aleph_{0}$ demostramos que $$ \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \omega \right) < \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \omega + 1 \right) \leq \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \omega^{2} \right) ; $$ pero cuando $\sigma > \aleph_{0}$ demostramos que $$ \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \omega \right) = \operatorname{i}_{\mu , \eta , \theta , \sigma} \left( \alpha \right) $$ para cada ordinal $\alpha > \omega$ . Por lo tanto, podemos demostrar el siguiente resultado, que es esencialmente el del libro, con las hipótesis adicionales $\kappa = \operatorname{cf} (\kappa)$ y $\sigma > \aleph_{0}$ :

Propuesta Si $\lambda \geq \kappa = \operatorname{cf} (\kappa) \geq \theta > \sigma = \operatorname{cf} (\sigma) > \aleph_{0}$ , $\lambda_{0} = \lambda$ , $$ \lambda_{n+1} = \lambda_{n} + \sup \left\lbrace \operatorname{cov} \left( \mu , \mu , {\left( \operatorname{cf} (\mu) \right)}^{+} , \operatorname{cf} (\mu) \right) : \kappa \leq \mu \leq \lambda_{n} , \sigma \leq \operatorname{cf} (\mu) < \theta \right\rbrace , $$ entonces $$ \operatorname{cov} \left( \lambda , \kappa , \theta , \sigma \right) \leq \bigcup_{n < \omega} \lambda_{n} . $$