Considerar el compacto de Lie del grupo de $E_8$. El segundo más pequeño fundamental de la representación es $3875$-dimensional y admite un simétrica invariante la forma, y lo que es real: $E_8 \curvearrowright \mathbb{R}^{3875}$. Además, este irrep admite un único (a escala) $E_8$-invariante simétrica $3$-tensor, estudiado, por ejemplo, en Garibaldi y Guralnik, Simple grupos de estabilización de los polinomios de 2015. El uso de este producto interior, no puedo pensar de esta invariante del tensor como un conmutativa pero no asociativa de la multiplicación $\star : \mathbb{R}^{3875} \otimes \mathbb{R}^{3875} \to \mathbb{R}^{3875}$.
Pregunta: ¿ $\mathbb{R}^{3875}$ contener cualquier valor distinto de cero vectores $x$ tal que $x \star x = 0$ para esta multiplicación?
Permítanme mencionar dos formas en que se podría tratar de responder a esta pregunta. Yo no era capaz de llevar a cualquiera a cabo hasta su finalización, y puede haber otros enfoques.
En primer lugar, elegir un vector aleatorio $y \in \mathbb{R}^{3875}$, y considerar la simétrica 2-tensor $x_1 \otimes x_2 \mapsto \langle x_1 \star x_2, y\rangle$, donde de curso $\langle,\rangle$ indica el $E_8$invariante en el interior del producto. Este 2-tensor es simétrico bilineal formulario correspondiente a $\| x\|^2 = \langle x \star x, y\rangle$. Supongamos que usted tuvo acceso a una tabla de multiplicación para $\star$. A continuación, puede escribir interior de este producto, y diagonalize es - diagonalizing un producto interior es rápido en la computadora y ver si hay alguna null vectores. Si por alguna $y$ este producto interior está definido, entonces no hay soluciones, y si en la otra mano un par de diferentes $y$s tienen el mismo vector nulo, entonces probablemente hay una solución. Sin embargo, era incapaz de construir una tabla de multiplicación para $\star$. Tenga en cuenta que esto sería suficiente para escribir un conjunto de generadores para la $\mathrm{Lie}(E_8)$-acción en $\mathrm{Sym}^3(\mathbb{R}^{3875})$, dado que la búsqueda de un común autovalor es bastante rápido, y para eso, sería suficiente para escribir generadores de la acción en $\mathbb{R}^{3875}$, es decir, sería suficiente para construir una base de cristal. Pero mi equipo se agotó cuando me pidió que lo hiciera.
En segundo lugar, considere el cúbicos función de $f(x) = \langle x \star x, x\rangle$ correspondiente a la simétrica $3$-tensor. Una solución a $x\star x = 0$ es el mismo como un punto crítico de $f$. Podemos restringir el acceso a la unidad de la esfera de $S = S^{3874} \subset \mathbb{R}^{3875}$; luego la solución a $x\star x = 0$ es el mismo como un punto crítico de $f|_S$ a que $f$ se desvanece. Cabría la esperanza de que quizás $f$ es una Morse–Bott de la función en $S$. Definitivamente no es Morse porque es $E_8$-invariante, y espero, pero no ha demostrado que $\mathrm{Lie}(E_8)$ actúa libremente en $S$. Además, uno podría esperar que los puntos críticos donde se $f$ se desvanece tienen el mismo número de atraer y repeler las direcciones - $1813 = (3874 - 248)/2$ de cada uno. Por último, cabría la esperanza de que tal vez las células en esta Morse(–Bott) complejo de llevar a algunos simpléctica o estructura compleja que se les obliga a ser aún-dimensional? Esto sucede, por ejemplo, para el indicador de colectores. Uno debe ser cuidadoso un poco: $E_8$, y por lo tanto el groupoid $S/E_8$, ha de torsión en su homología, lo cual es consistente, incluso con las dimensiones de las células y la libertad de la $\mathrm{Lie}(E_8)$-acción sólo si los estabilizadores son triviales grupos finitos. Por el contrario, quizás $S/E_8$ tiene mucho homología que debe haber un grado-$1813$ punto crítico.
