El más elemental de la construcción que yo sé de los grupos cuánticos asociados a un número finito dimensional simple álgebra de Hopf es construir un álgebra con generadores $E_i$ e $F_i$ correspondiente a la simple positivo raíces, y invertible $K_j$'s de la generación de una copia de el peso de la celosía. Entonces uno tiene un aluvión de las relaciones entre ellos, y un subproducto definido en los generadores por explícita fórmulas. Estos no son mortalmente complicado, pero son aún más involucrados. Luego vienen explícita cheques de coassociativity, y la compatibilidad entre la multiplicación y la comultiplication. Finalmente, uno tiene la $R$-matriz, la cual es una infinita suma, en vez de no-obvio normalizaciones. Entrar más cálculos para comprobar $R$-matriz de axiomas.
Recuerdo de aprendizaje acerca de una manera agradable para la construcción de la cuántica grupo, que además de requerir menos fórmulas tiene la ventaja de dejar claro conceptualmente qué es trenzado.
Estoy esperando que alguien puede que me señale una referencia para la imagen completa, o tal vez de llenar algunos de los detalles, ya que sólo recuerdo el esbozo. Que, precisamente, es mi pregunta.
Tengo que incluir en los comentarios de abajo con la esperanza de que jog la memoria de otra persona.
De empezar con el tensor de la categoría $Vect_\Lambda$ de %de $\Lambda$- graduada de espacios vectoriales, donde $\Lambda$ es el peso de la celosía. Tenemos un emparejamiento $\langle,\rangle:\Lambda\times\Lambda\to \mathbb{Z}$, y se define un trenzado $\sigma_{\mu,\nu}:\mu \otimes \nu \to \nu\otimes\mu$ a $q^{\langle \mu,\nu \rangle}$. Aquí $q$ es un número complejo o formal de una variable. Puede que necesitemos para recoger algunas raíces de $q$ si consideramos que es un número; no recuerdo (y no estoy demasiado preocupado acerca de ese detalle). También, aquí se denota por $\mu$ e $\nu$ las dimensiones espacio vectorial apoyado en $\mu$ e $\nu$ respectivamente, y hemos utilizado el hecho de que tanto $\mu\otimes\nu$ e $\nu\otimes\mu$ son como objetos de $\mu+\nu$.
Bien, ahora tenemos que construir un álgebra en esta categoría, generado por la $E_i$'s, que los generadores consideramos que viven en sus respectivas categorías, correspondientes a la simple raíces. Aquí es donde las cosas empiezan a ponerse borrosa. Tomamos sólo los simples como ya he dicho, o nos toma a todos los $E_\alpha$'s, para todas las raíces $\alpha$? También, lo álgebra hacemos con el $E_i$'s? Por supuesto que debe ser el positivo nilpotent parte de la cuántica grupo, pero desde que construir como un álgebra en esta categoría, puede ser una mejor interpretación de las relaciones? De todos modos, vamos a llamar el álgebra se supone que vamos a construir aquí $U_q(\mathfrak{n}^+)$. Definitivamente me recuerda que ahora es un bi-álgebra en $Vect_\Lambda$, y el subproducto es sólo $\Delta(E_i)=E_i\otimes 1 + 1\otimes E_i$ (a los molestos $K$ que aparece por lo general, se ha escondido en el trenzado de datos). Ahora tomamos $U_q(\mathfrak{n}^-)$ a ser generados por $F_i$'s en negativo grado, y se construye un emparejamiento entre el $U_q(\mathfrak{n}^+)$ e $U_q(\mathfrak{n}^-)$. El emparejamiento es degenerado, y a lo largo de las líneas de Lusztig del libro de texto, uno encuentra que el núcleo de la vinculación es el q-Serre relaciones en cada conjunto de variables $E_i$ e $F_i$.
Finalmente, una vez que el cociente a cabo el kernel, tomamos un pariente versión de Drinfeld del doble de la construcción (los detalles aquí también no puedo recordar, pero que le gustaría mucho), y obtenemos un cuasi triangular álgebra de Hopf en $Vect_\Lambda$. Como un objeto en $Vect_\Lambda$ es sólo un álgebra generada por la $E_i$'s y $F_i$'s, así que no hay toro. Pero ya que estamos trabajando en esta relativa versión, nos podemos olvidar de abajo para espacios vectoriales, y a lo largo del camino, llegamos de nuevo al toro de acción, ya que estaba metido en los datos de $Vect_\Lambda$ a lo largo de todos.
Así, la construcción (a) da más limpio fórmulas de los productos, co-productos, y las relaciones (incluyendo el $q$-Serre relaciones), y (b) deja en claro por qué hay un trenzado en $U_q(\mathfrak{g})$ por la construcción de ésta como el doble.
El único problema es que yo lo aprendí en un seminario donde mi conocimiento completo de las notas nunca fueron producidos, y mientras recuerdo la esencia, no recuerdo los detalles completos. Alguna ayuda?
