No es cierto que $\int_{[M]^{vir}} 1 = 2875$ para todos los módulos de los espacios de la lista. Si dejamos $$N_n = \int_{[M(1,0,-1,n)]^{vir}} 1 $$
entonces
$$Z_1(q) = \sum_{n=1}^\infty N_n q^n = 2875\cdot M(-q)^{e(Y)}\cdot \frac{q}{(1+q)^2}$$
donde
$$M(q) = \prod_{m=1}^\infty (1-q^m)^{-m}$$
Lo que está pasando aquí es que el espacio de moduli $M(1,0,-1,n)$ es isomorfo al esquema de Hilbert de 1-dimensional subschemes $C$ en la clase de una línea con $\chi(\mathcal{O}_C)=n$. Para $n=1$ este espacio de moduli es 2875 los puntos que representan la 2875 líneas, pero para $n>1$, el subscheme consistirá en una línea y $n-1$ puntos (que podría estar lejos de las líneas o incrustados en las líneas). Estos módulos espacios son en general muy complicado.
Tenga en cuenta que por MNOP conjetura (probado recientemente por el quintic por Pandharipande-Pixton), la fórmula anterior para $Z_1(q)$ nos dice que el grado 1 de Gromov-Witten invariantes son en todo género, no sólo de género 0.
Así Donaldson-Thomas teoría (la MNOP versión utilizando ideal gavillas de subschemes) no es una manera muy eficaz de conseguir el único género 0 información - - - - usted tiene que calcular ideal para las poleas de todas las características de euler, convertir el correspondiente (reducción) de la serie en $q$ a una serie de $\lambda$ a través de la sustitución de $q=-e^{i\lambda}$, pasar de desconectado a conectado en serie y, a continuación, encontrar la $\lambda^{-2}$ plazo en la expansión!
Si desea puramente de género 0 enumerativa de información de un Donaldson-Thomas como invariante, usted podría utilizar Sheldon-Katz propuesta de definición de género 0 Gopakumar-Vafa invariantes. Él propone
$$n_{0,\beta}(X) = \int_{[M(0,0,\beta,1)]^{vir}} 1$$
donde $X$ es un Calabi-Yau triple, $\beta \in H_2(X)$ es una curva de clase, y $M(0,0,\beta,1)$ es el espacio de moduli de pura estable poleas con chern carácter $(0,0,\beta,1)$. En el caso anterior, este espacio se rellenará con sólo la estructura de las poleas de la 2875 líneas y de hecho el género cero Gopakumar-Vafa de la quintic en la clase de la línea es 2875.
Por supuesto, nada de esto realmente direcciones de su pregunta real es ¿cómo podemos obtener el número 2875 de Donaldson-Thomas teoría, sin a priori conocer el enumerativa de respuesta. La respuesta es quizás decepcionante en este caso. No hay ninguna buena computacional manera de ver el 2875 líneas en el DT de la teoría. En Gromov-Witten teoría, se puede relacionar género 0 invariantes de $Y$ a Gromov-Witten como invariantes del espacio ambiental $\mathbb{CP}^4$ y en el caso de la 2875, esto puede ser reducido a los clásicos de la intersección de la teoría. DT teoría sólo está definida para threefolds y así no hay forma conocida relacionados con el DT de la teoría de $Y$ a algo en el espacio ambiente. La única técnica computacional aquí para la quintic es la degeneración de la degeneración de la quintic a dos fano threefolds reunión a lo largo de un 3d por ejemplo). Esto es lo que se emplea por Pixton-Pandharipande para demostrar la MNOP es una conjetura, pero es bastante complicado y probablemente imposible de extirpar el género cero de la parte de la computación (por las razones explicadas anteriormente). Posiblemente, uno podría tratar de aplicar la degeneración de técnicas de Katz definición de género 0 GV invariantes, pero que no ha sido explorado y también, probablemente, no es fácil (uno estaría obligado a considerar los módulos de los espacios estrictamente semi-estable objetos y que provoca dificultades en la DT de la teoría).
Una computacional ventaja de que el DT de la teoría tiene más de GW teoría es que puede ser calculada motivically: la integral sobre la clase virtual es dada por un ponderado de la característica de Euler y euler característica de un espacio puede ser calculada mediante la suma de la característica de Euler de los estratos, en una estratificación. Esto provee una estrecha relación entre el DT de la teoría (en realidad, el PT teoría --- DT de la teoría del hermano pequeño) y la geometría enumerativa de las superficies. El papel de Kool-Shende-Thomas utilizar esta idea para demostrar Gottsche la conjetura de que da una fórmula universal para la geometría enumerativa de las superficies. Los posteriores trabajos de Kool-Thomas realizar esta conexión entre la geometría enumerativa de una superficie de $S$ y el PT de la teoría de la triple $K_S$ más explícito. Gottsche y Shende ir más allá y utilizar refinado PT teoría para obtener una refinada versión de Gottsche la conjetura de que contiene incluso más sutiles enumerativa de información (como el número de la real curvas en una superficie).
Para resumir este largo aliento respuesta: DT teoría no es muy bueno ver directamente la geometría enumerativa de threefolds como el quintic (en particular, el 2875 líneas), pero es muy buena para la comprensión de la geometría enumerativa de las superficies.
Edit: aquí hay algunos enlaces a artículos discutidos anteriormente:
Pandharipande-Pixton demostrar la MNOP conjetura en una serie de documentos. Este es el final (el cual hace referencia a las anteriores)): http://arxiv.org/abs/1206.5490
Kool-Shende-Thomas prueba de la Gottsche conjetura y la posterior papeles por Kool-Thomas:
http://arxiv.org/abs/1010.3211
http://arxiv.org/abs/1112.3069
http://arxiv.org/abs/1112.3070
Gottsche-Shende los papeles de refinados Gottsche conjetura:
http://arxiv.org/abs/1208.1973
http://arxiv.org/abs/1307.4316
Brenin pidió una referencia para el cálculo de $Z_1(q)$. Aquí es un directo de la computación en DT teoría: http://arxiv.org/abs/math/0601203 pero es más fácil de entender este cálculo en PT teoría: véase el ejemplo en la página 28 de este hermoso expositiva de papel:
http://arxiv.org/pdf/1111.1552.pdf
