¿Qué es modular teoría de la representación de los grupos de buenas?

Question

Yo soy un principiante absoluto en modular la teoría de representaciones de grupos finitos. Sé que algunas cosas en teoría de la representación en característica cero. Mis preguntas son acerca de los principales objetivos de esta parte de la teoría de la representación.

Por ejemplo, el sistema modular de la teoría de la representación dar información respecto a la estructura del grupo de álgebra o de que el propio grupo? Me gustaría ver algunos ejemplos concretos en los que esta teoría puede ser aplicada. Sé que los estudios de los bloques de el grupo de álgebra, pero no sé muchas cosas acerca de esto.

¿Cuáles son las otras aplicaciones de la teoría? He visto que hay algunas cosas interesantes relacionadas con las formas modulares también comentado aquí en el foro. Además de eso, ¿cuáles son las aplicaciones de esta teoría?

Answer 1

Como explica Geoff, modular representaciones de grupos finitos juegan un papel importante en algunos de los grupo estándar de la teoría de la evolución (aunque juegan un papel menos importante en la clasificación de simple grupos que algunas personas que habían previsto inicialmente). De hecho, creo que Richard Brauer comenzó a desarrollar estas ideas, incluyendo el bloque de teoría, en la década de 1940 porque vio conexiones estructurales con preguntas acerca de grupos finitos. Por supuesto, ahora el tema es también perseguido sólo por su belleza intrínseca, pero tiene aplicaciones.

Como Dylan Wilson señala en su comentario, algunos aspectos de la teoría modular jugado un papel clave para Quillen en su obra on algebraica de K-teoría. Brauer de los resultados ordinarios y modular de la teoría de la representación son esenciales para Quillen la prueba de la Adams conjetura aquí. Estas ideas tales como "Brauer de elevación" se hace hincapié en Serre las notas de la conferencia (más tarde traducido como Springer GTM 42).

Me gustaría añadir que para finito de grupos de Lie tipo definido sobre los campos de la característica principal $p$, el sistema modular de la teoría relativa a $p$ ha sido muy útil a veces en el estudio de la ordinaria (característica 0) las representaciones de los grupos. Además, tiene implicaciones para la racional representaciones en el carácter $p$ de ambiente algebraica de los grupos, debido a las estrechas conexiones entre representaciones irreducibles de los grupos finitos y algebraica de los grupos (Curtis, Steinberg, ...)

En una dirección diferente, el estudio de las representaciones de Galois (y $p$-ádico de las representaciones en general) a menudo tiene información necesaria acerca de las representaciones modulares de los grupos finitos de tipo de Mentira que ocurren naturalmente como cocientes cuando la reducción de mod $p$ se aplica a los anillos de $p$-ádico enteros. Todo esto es complicado de explicar, pero es parte de una investigación más amplia de ciertos matriz de grupos de más de los campos locales y sus representaciones. Que a su vez tiene implicaciones para la unificación en el programa establecido por Langlands.

Answer 2

Iba a escribir un comentario, pero creo que voy a hacer es una respuesta, que está lejos de ser completa.

Si uno está interesado en las aplicaciones de la estructura de grupos finitos, posiblemente el ejemplo más conocido es la prueba de Glauberman Z*-teorema, que es una herramienta esencial para la clasificación de los finitos simples grupos ( creo que fue el más citado de papel en la Teoría de grupos en la década de 1970). Modular de la teoría de la representación fue una herramienta indispensable en su prueba, como en la prueba de la Brauer-Suzuki teorema (sobre grupos finitos con (generalizada) de cuaterniones Sylow 2-subgrupos) antes de que ( a pesar de que Glauberman publicó más tarde una vez más la prueba de la Brauer-Suzuki teorema de la que sólo se utiliza carácter ordinario teoría). En general, los usos de modular teoría de la representación que contribuyó a la Clasificación de los Finitos Simples grupos tendían a ser en grupos cuyos Sylow $2$-subgrupos no contenía grandes primaria Abelian Sylow $2$-subgrupos ( `grande" generalmente el significado de la orden, al menos, 8). Para la clasificación de los grupos finitos con la generalizada cuaterniones, diedro, o semi-diedro, Sylow $2$-subgrupos hecho uso de los resultados de bloque de teoría, aunque en algunos casos, el carácter ordinario de la teoría de las pruebas finalmente reemplazado el uso de bloque de teoría. Otras formas de modular teoría de la representación ha jugado un papel en la teoría de grupos finitos incluyen la Sala-Higman teorema, que sin duda influyó en J. G. Thompson temprano del trabajo, incluyendo su Tel. D. tesis. Sin embargo, la restricción a la atención inmediata de las aplicaciones a la estructura de grupos finitos da un poco representativas de la imagen. Otras áreas donde modular de representaciones de grupos finitos jugar un papel incluyen la Teoría de números ( por ejemplo, surgen en Wiles' la prueba del Último Teorema de Fermat), y en áreas tales como la Teoría de la Codificación, entre muchos otros.