Soy un estudiante universitario. No sé si está bien hacer esta pregunta aquí.
Quiero aprender la teoría de Hodge. Pero no sé cómo empezar, y cuántas matemáticas debería necesitar antes de leer el artículo de Deligne.
¿Existe algún libro o apunte elemental sobre la teoría de Hodge para estudiantes de grado? ¿Vale la pena leer el libro de Hodge Teoría y aplicaciones de las integrales armónicas ?
Como introducción a la teoría de Hodge, recomendaría el libro de Voisin "Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry", cuyo volumen I debería ser suficiente para sus propósitos. El libro también trata un poco de la teoría de Hodge de las variedades no compactas, en la sección 8.4. Las secciones pertinentes de Griffiths-Harris tampoco están mal. Los artículos de Deligne también requieren cierta familiaridad con las secuencias espectrales y el álgebra homológica, pero esto se puede obtener en montones de sitios.
Dicho esto, el actual pruebas de la descomposición de Hodge, etc. no son tan relevantes para entender el trabajo de Deligne--en mi opinión, sería un mejor uso de tu tiempo entender los enunciados y calcular algunos ejemplos si este es realmente tu objetivo. Por ejemplo, la teoría de Hodge para curvas proyectivas suaves (¡que funciona sobre una base arbitraria!) me pareció muy ilustrativa; véase, por ejemplo, el teorema 2 de estas notas (que tienen preliminares de álgebra homológica relativamente pesados). Una vez que se entienden bien los enunciados de la teoría de Hodge para las variedades compactas de Kahler, se puede intentar utilizar las propiedades formales de funtorialidad de las estructuras mixtas de Hodge para calcular algunos ejemplos para algunas variedades abiertas (encontrando buenas compactificaciones) y variedades singulares (encontrando buenas resoluciones).
Por tu pregunta, parece que consideras los artículos de Deligne como la apoteosis de la teoría de Hodge; yo diría más bien que deberías centrar tus esfuerzos en comprender el caso de las variedades compactas de Kahler, y esperar a tener una buena sensación con ellas antes de pasar a las situaciones generales con las que trata Deligne.
Si tiene una inclinación más algebraica que analítica, el Papel de Deligne-Illusie estableciendo la degeneración de la secuencia espectral de Hodge a de Rham es bastante bonito y muy legible-- dos relatos más legibles son estas notas de Piotr Achinger, y esta cuenta por Illusie. También puede encontrar el teorema de la comparación entre la cohomología analítica y algebraica de Rham interesante.
Puede que esté repitiendo lo que otros han dicho, pero creo que la cuestión es si quieres aprender la teoría clásica de Hodge o mixto La teoría de Hodge. Los artículos de Deligne tratan de esta última. En principio es muy posible aprender una de ellas y poco de la otra - un analista complejo puede hacer uso de la teoría de Hodge clásica sin preocuparse nunca de las filtraciones de pesos y demás, y un geómetra algebraico puede usar la teoría de Hodge mixta como herramienta sin aprender las partes trascendentales que entran en la construcción. (Si está interesado en calcular la cohomología de las variedades algebraicas, la teoría de Hodge mixta es una herramienta increíblemente poderosa).
En cualquier caso, si lo que quieres aprender es la teoría mixta de Hodge, los trabajos de Deligne no son un mal comienzo. También está el libro de Peters y Steenbrink, el discurso de Deligne en el ICM "Poids dans la cohomologie des variétés algébriques" y "An overview of recent advances in Hodge theory" de Brylinski y Zucker. Pero hay que tener en cuenta que ninguno de estos artículos es fácil de leer. Suponen conocimientos de geometría algebraica y una gran cantidad de álgebra homológica (categorías derivadas, técnicas simpliciales, etc.). Para empeorar las cosas, una gran parte de la motivación de la teoría proviene de la cohomología étale y de las conjeturas de Weil.
Una mejor manera de entrar en la teoría mixta de Hodge podría ser aprender primero algunas aplicaciones y averiguar por qué es útil. Por ejemplo, podrías aprender sobre el polinomio de Hodge-Deligne de una variedad algebraica. En casos sencillos se puede pensar de forma muy concreta en el polinomio de Hodge-Deligne como un artilugio que cuenta el número de puntos de la variedad sobre varios campos finitos. Una vez que haya entendido cómo se puede utilizar como herramienta y por qué es absolutamente sorprendente que exista un polinomio de Hodge-Deligne, puede leer sobre la teoría mixta de Hodge para entender por qué está bien definido.
Los artículos de Deligne no son probablemente la introducción a la teoría clásica de Hodge que está buscando.
Yo recomendaría la lectura de "Teoría de Hodge y Geometría Algebraica Compleja I" de Voisin. Cubre los aspectos algebraicos y analíticos complejos de la Teoría de Hodge, incluyendo esbozos de partes de Hodge II. Sin embargo, se salta la principal aportación analítica de la Teoría de Hodge relativa a los operadores elípticos.
Prerrequisitos: un primer curso tanto de variedades diferenciales como de análisis complejo, junto con las ideas básicas de geometría algebraica.
"Principle of Algebraic Geometry" de Griffiths y Harris sería otra buena referencia con requisitos previos similares, aunque no cubre temas más avanzados como la teoría mixta de Hodge.
"Period Mappings and Period Domains" de Carlson, Muller-Stach, Peters, podría ser una lectura más fácil - tiene muchos ejercicios, y parece tener un mayor énfasis en la intuición y los ejemplos. Puede que se salten algunas de las pruebas que se tratan en el anterior. Sin embargo, no lo he leído, así que no puedo responder por él.
En principio, los libros de Carlson, Muller-Stach y Peters son un tanto autocontenidos; dicho esto, en mi opinión, básicamente suponen cierta familiaridad con el material básico.
No estoy seguro de que los trabajos de Deligne demuestren algo para las variedades generales cerradas de Kaehler (y para la mayoría de la gente, la teoría de Hodge es probablemente un conjunto de algunas afirmaciones sobre tales objetos). Así que "los artículos de Deligne probablemente no son la introducción a la teoría de Hodge clásica que estás buscando" parece ser muy cierto: no demuestran lo que se pide (muy probablemente).
Uno de los mejores libros sobre este tema es el de Voisin "Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja". Pero puede que a veces no sea todo lo completo que necesitas. Puede que el libro de Carlson, Müller-Stach, Peters, "Period mappings and Period domains" le resulte más ameno. Un recurso menos famoso es el libro de Bertin, Demailley, Illusie y Peters, " Introducción a la teoría de Hodge ". Es una buena referencia y contiene muchas informaciones desde los niveles básicos hasta los superiores y desde los complejos y $L^{2}$ -métodos para caracterizar $p$ los. Por cierto, ahora hay muchos cursos online y apuntes de clases sobre la teoría de Hodge que puedes encontrar fácilmente buscando en Google. Por ejemplo este que es corto y elemental o este . Los primeros capítulos del libro de Griffthis-Harris "principios de geometría algebraica" son una buena introducción a las bases complejas de la teoría de Hodge.
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