Como Terry menciona en los comentarios, la razón de la $\sqrt{5}$ es que el caso límite, la proporción áurea, la obliga. Hay una muy cuidada explicación de todo esto en el clásico de la teoría de números de la libreta de por Hardy y Wright, páginas 209 a 212. Doy un breve esbozo de las ideas.
- Por qué $\phi$ es el peor de los casos.
Como Hardy y Wright decirlo, "desde el punto de vista de la aproximación racional, la más sencilla de números son las peores. El "más sencilla" de todos los irrationals, desde este punto de vista, es el número de $\phi$."
La razón de esto es que si consideramos que la mejor aproximación para un determinado $\alpha$,
$$\left|\alpha - \frac{p_n}{q_n} \right| = \frac{1}{q_nq'_{n+1}} < \frac{1}{a_{n+1}q^2_n}$$
lo mejor es cuando se $a_{n+1}$ es grande. Pero en el caso de $\phi$ cada $a_{n+1}$ es tan pequeño como sea posible.
- ¿Por qué se lleva a la $\sqrt{5}$
La idea es simplemente ver lo que sucede cuando nos aproximado de $\phi$. Que sea más o menos va así:
$$\left|\phi - \frac{p_n}{q_n} \right| = \frac{1}{q_nq'_{n+1}} \sim \frac{1}{q^2_n}\frac{1}{1+2\phi}=\frac{1}{q^2_n\sqrt{5}}$$
- $\sqrt{5}$ mejor es posible
Esto se deduce fácilmente por la contradicción. No hay infinitamente muchos $p$, $q$ tal que
$$\alpha=\frac{p}{q}+\frac{\delta}{q^2}$$ and $$|\delta|<\frac{1}{\sqrt{5}}$$
Ahora, cualquier prueba del teorema debe buscar lo suficientemente convincente, sabiendo donde el $\sqrt{5}$ se presupone que viene.
EDIT. Yo incluyen la integridad de una buena alternativa prueba presentada por Marty y Halbort en los comentarios.
L. R. Ford, "Fracciones" (Amer. De matemáticas. Mensual, Vol 45, Nş 9 (Noviembre De 1938))
