Comparando cohomology más de ${\mathbb C}$ y más ${\mathbb F}_q$

Question

Tengo el siguiente (probablemente conocida) pregunta: vamos a $X$ ser un esquema regular de más de $\mathbb Z$. Deje $p$ ser una de las primeras y Dejar que nos indican la reducción de $X$ mod $p$ por $X_p$. Vamos también a $X_{\mathbb C}$ la correspondiente compleja variedad. Supongamos que yo lo sé todo acerca de cohomology de $X_{\mathbb C}$ (es decir, sé que la mezcla de Hodge de la estructura). Hay una situación en la que puedo utilizar para describir el $\ell$-ádico cohomology de $X_p$ con la acción de Frobenius? Más precisamente, hay condiciones que garanticen que todos los eigen-valores de Frobenius son potencias de $q$ y que esos poderes son exactamente los previstos por la estructura de Hodge en el cohomology de $X_{\mathbb C}$?

ACTUALIZACIÓN: me gustaría hacer hincapié en que el esquema de $X$ estoy hablando no es la correcta y su cohomology no es pura. Sin embargo, no está muy mal: aproximadamente hablando nada peor que ${\mathbb G}_m$ puede aparecer allí. En mi situación específica conjecturally (No sé cómo probar esto) hay un ${\mathbb G}_m$-acción en $X$ que los contratos a un subscheme $Y$ (es decir, existe una morfismos ${\mathbb A}^1\times X\to X$ ampliación de la ${\mathbb G}_m$-acción que $\{ 0 \} \times X$ va a las $Y$) donde $Y$ es un discontinuo de la unión de cerrado subschemes de la formulario de ${\mathbb A}^k\times {\mathbb G}_m^l$. Tenga en cuenta que en este caso el cohomology de $X$ es el mismo que cohomology de $Y$, por lo que esto debe darle una idea lo complicada que es la cohomology de $X$ es.

Answer 1

Usted tiene que ser un poco cuidadoso debido al siguiente tipo de fenómeno: el par de conjugar los puntos de $x^2 + 1 = 0$ ha Frobenius autovalores igual a $1$ si $p$ es 1 mod 4, pero igual a $1$ e $-1$ si $p$ es $-1$ mod 4. Pero su estructura de Hodge no es diferente a la par de puntos racionales $x^2 - 1$, por lo que el Frobenius autovalores son siempre 1. (Si desea un ejemplo donde el esquema es una variedad, en lugar de geométricamente desconectado, en lugar de considerar que el avión explotó en estos dos puntos.)

La condición que desea es que el cohomology más de $\mathbb C$ ser generados por Hodge clases (es decir, que la cohomology ser todos, incluso en su grado, y que en el grado $2i$ todo tipo $(i,i)$). Esto le dará que la Frobenius autovalores son potencias de $q$ en casi todas las $p$, hasta la multiplicación por una raíz de la unidad. (Este es el Artin--Tate declaración de Bhargav la respuesta.) El ejemplo anterior muestra que estas raíces de la unidad puede aparecer.

Un papel que describe este tipo de pregunta bastante integral, y donde la instrucción anterior se demuestra, es el vinculado papel de Kisin y Lehrer. (Ver Corolario 2.3.) Ver también este papel de Kisin y Wortmann, que proporciona resultados clave para el argumento de Kisin y Lehrer.

La técnica básica que se puede utilizar para conectar la teoría de Hodge en el infinito a la Frobenius elementos de la mod de los números primos es $p$-ádico Hodge teoría, y esto es lo que Kisin--Lehrer y Kisin--Wortmann uso.

Answer 2

Suponga $f:X \to \mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$ es correcto con $X_{\mathbf{Q}}$ liso y geométricamente conectado, y fijar un número entero $n$. Entonces creo que el siguiente es verdadero:

Reivindicación 1: $H^{2n}(X(\mathbf{C}),\mathbf{C}) \simeq H^n(X_{\mathbf{C}},\Omega^n)$ si y sólo si existe un gran número de números primos $p$ de manera tal que los autovalores de Frobenius en $p$ que actúa sobre el $2n$-th $\ell$-ádico cohomology grupo $V$ de % de $X_{\overline{\mathbf{Q}}}$ son todos los $p^n$

Aquí "grandes" significa que estos son los números primos que dividen en un número de campo, hasta finito de molestia. Nos referimos a las representaciones de Galois con la anterior propiedad mixtos "Tate", en analogía con la situación en la teoría de Hodge.

(Edit: he añadido una prueba de croquis y referencias; la prueba fue descubierto junto con Andrew Snowden cuando estábamos conscientes de la literatura, y no pretendemos ningún originalidad.)

Sketch de prueba de Reclamación 1: Si uno tiene la condición de que el Galois representación $V$ es potencialmente Tate, entonces, como Emerton señala, uno puede usar $p$-ádico Hodge teoría para demostrar que todos (2n)-clases de tipo (n,n). Por la inversa de la dirección, la forma más fácil que conozco a ver esto es mediante el uso del teorema de Mazur que el polígono de Newton se encuentra o o por encima de la Hodge polígono para un buen esquema proyectivo sobre $\mathbf{Z}_p$. Este teorema implica que las huellas de la Frobenius valores propios en $V$ son divisibles por $p^n$ para casi todos los números primos $p$. Por lo tanto, las huellas en $V(n)$ están integral (haciendo un Tate giro equivale a dividir los autovalores por p). Por otro lado, por parte de las conjeturas de Weil, estas huellas han delimitado valores absolutos (por razones de peso). Por lo tanto, el seguimiento de la función asociada a $V(n)$ toma en un número finito de valores en todos los Frobenius elementos. Por Chebotarev, se sigue que la traza de la función asociada a $V(n)$ es finitely valorados. Ya que también es continua, se puede encontrar una extensión de $K/Q$ de manera tal que el Galois representación $V(n)$ restringido a $K$ constante seguimiento de la función. Esto implica que el semisimplifed Galois representación subyacente $V(n)$ es constante a lo largo de $K$. Por lo tanto, para cualquier prime $p$ que se divide completamente en $K$, los valores propios de la Frobenius en $p$ a $V \simeq V(n)(-n)$ se dan por $p^n$, como se desee.

--

Para una declaración más general, por favor consulte Kisin-Wortmann (ver Emerton la respuesta) que demuestran una mejor versión de la declaración anterior. También, Bloch-Esnault (http://arxiv.org/abs/math/0212256) demostrar resultados relacionados.

--

(Segunda edición 10/17/10): nos parece que la prueba funciona en el caso mixto, así, para mostrar el siguiente (es esta implícito en Kisin-Wortmann?):

Reivindicación 2: Si $X/\mathbf{Q}$ es una variedad tal que $H^n_c(X_\mathbf{C})$ tiene una estructura de Hodge de la mezcla de Tate tipo para algún n, $V_\ell = H^n_c(X_{\overline{\mathbf{Q}}},\mathbf{Q}_\ell)$ es una mezcla de Tate Galois representación de el peso correcto (donde "correcta" significa que el peso predicho por la estructura de Hodge).

En términos concretos, la Reivindicación 2 predice la existencia de un campo de número K tal que para cualquier prime $p$ división completamente en $K$, la $Frob_p$-valores propios en $V_\ell$ son de la forma $p^{w/2}$ donde $w$ es un no-cero de peso que ocurre en $H^n_c(X)$. Dualising da la deseada declaración para el normal cohomology.

Recordemos que un $\mathbf{Q}$-mixto Hodge estructura se dice que se han mezclado Tate tipo si su peso gradual piezas se concentran en incluso grados, y cada grado se extendió por las copias de la Tate Hodge estructura $\mathbf{Q}(n)$ donde $-2n$ es el peso. En particular, si $Y$ es suave proyectiva, a continuación, $H^{2m}(Y)$ es mixto Tate si y sólo si todas las clases en $H^{2m}(Y)$ han Hodge-tipo de $(m,m)$. Por lo tanto, la Reivindicación 2 recupera la Reivindicación 1. El estándar de ejemplos de variedades que llevan una mezcla de Tate estructura de Hodge son aquellos cuya cohomology es generado por algebraica de los ciclos, por ejemplo, G/B para una reductora del grupo G con Borel B; se puede obtener más/ejemplos singulares tomando cocientes por finito/reductora grupo de acciones.

Croquis de la prueba de la Reivindicación 2: La idea principal es utilizar la Hodge y el peso de las filtraciones, en $V$, y su compatibilidad con el $p$-ádico comparación isomorphisms. Más específicamente, deje $W_\cdot(V)$ el valor del peso de filtración en $V$. Por las conjeturas de Weil, los pesos son $\leq n$. La suposición de que $X$ ha mezclado Tate tipo más de $\mathbf{C}$ da $gr^W_k(V) = 0$ para $k$ extraño, y eso $H_{2k} = gr^W_{2k}(V)$ es puro de peso $2k$ con la estructura de Hodge totalmente de tipo $(k,k)$.

Ahora fijar un primo p tal que todos los $p$-ádico representaciones de Galois a la vista son cristalinas; la mayoría de los números primos de trabajo. La aplicación de Fontaine del functor a $V_p$ da una débil admisible módulo de $D(V_p)$, yo.e filtrada $\mathbf{Q}_p$-espacio vectorial con un Frobenius la acción de satisfacer la condición de que el polígono de Newton (definida mediante la $p$-ádico valoraciones de los autovalores de Frobenius) se encuentra por encima de Hodge polígono (que se define utilizando las dimensiones de los filtros de piezas). La comparación de los teoremas de identificar el módulo de filtrado subyacente $D(V_p)$ con la Hodge filtrado de Rham cohomology de $X$ (base cambiado a $\mathbf{Q}_p$); el Frobenius la acción viene de la cristalina cohomology.

Desde la comparación isomorphisms respecto al peso de la filtración, el módulo de filtrado que subyacen a la débil admisible módulo de $D(H_{2k})$ está dado por la $2k$-ésimo peso pieza clasificada de de Rham cohomology de $X$. Por lo tanto, $D(H_{2k})$ tiene un Hodge filtración que es totalmente de tipo $(k,k)$. Se desprende de lo débil de admisibilidad que la Frobenius valores propios en $D(H_{2k})$ ha $p$-ádico de valoración, al menos,$k$, y lo mismo es cierto para $H_{2k}$. El mismo argumento como en la pura caso (hacer un Tate giro, argumentan algunos de carácter es finitely valoran utilizando la pureza, etc) ahora termina la prueba.