Parece poco probable que uno puede demostrar que algo no trivial,
pero aún así es interesante considerar lo que debe ser verdadero,
y para calcular experimentalmente para las pequeñas $k$.
Vamos
$$
\delta_k
= \min_{\ell_1<\ell_2} \left(\frac{n_{\ell_2}}{n_{\ell_1}} - 1\right)
= \min_{\ell} \left(\frac{n_{\ell+1}}{n_\ell} - 1\right),
$$
por lo tanto, estamos preguntando cómo pequeño $\delta_k$ puede conseguir.
Fácil límite superior es $\delta_k \ll k \log k \, / \, 2^k$,
y uno que probablemente puede ahorrar algo de energía de $k$. La respuesta correcta
es, probablemente, $\delta_k \sim C^{-k + o(k)}$ para algunas constantes $C>2$,
y parece razonable suponer que $C=3$. Voy a explicar esto junto,
seguido por las técnicas computacionales que hacen posible determinar
$\delta_k$ al menos $k \leq 36$; por ejemplo
$$
\delta_{28} = \delta_{29} = \delta_{30} = \frac1{1079415718589} \doteq 3^{-25.22}
$$
(el numerador es
$13 \cdot 53 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 73 \cdot 89
= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 31
\cdot 43 \cdot 71 \cdot 107 - 1$),
y
$$
\delta_{36} = \frac{145948}{123657879146878688901} \doteq 3^{-31.29}
$$
con
$$
1 + \delta_{36} = \frac
{7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 73 \cdot 83 \cdot 89 \cdot 97 \cdot 127 \cdot 151}
{3 \cdot 17 \cdot 23 \cdot 43 \cdot 59 \cdot 61 \cdot 67 \cdot 71 \cdot 79 \cdot 101 \cdot 131 \cdot 137}.
$$
For the upper bounds: Note that $\delta_k$ es esencialmente
$\min_{\ell_1<\ell_2} (\log n_{\ell_2} - \log n_{\ell_1}).$
Hay $2^k$ números de $\log n_\ell$ entre $\log n_1 = 0$ y
$\log n_{2^k} = \sum_{i=1}^k \log p_i \sim k \log k$;
así que cuando tenemos una lista de ellas en el orden de la diferencia promedio es
$\log n_{2^k} \, / \, (2^k - 1) \sim k \log k \, / \, 2^k$,
y así debe haber alguna diferencia(s) de no más de eso.
Para guardar un poder de $k$, tenga en cuenta que la varianza de la $2^k$ números
$\log n_\ell$ es $\frac14 \sum_{i=1}^k \log^2 p_i \sim (k/4) \log^2 k$,
y una fracción positiva de ellos debe ser dentro de dos desviaciones estándar
de la media, por lo que tenemos un límite superior $\sim k^{1/2} \log k \, /\, 2^k$.
Para la heurística: Si tuviéramos $2^k$ números aleatorios en el intervalo,
esperamos que el par más cercano a ser de alrededor de $4^{-k}$ aparte. Pero el
las separaciones no son independientes; sólo hay $(3^k-1)/2$ diferentes
ratios $n_{\ell_2} / n_{\ell_1}$ (es decir, los valores de
$\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}$ con cada una de las $\alpha_i \in \{-1, 0, 1\}$
que hacen que el producto $>1$), por lo que esperamos que el más pequeño a tener
logaritmo acerca de $3^{-k}$, de nuevo hasta subexponential factores.
Para las pequeñas $k$, se puede calcular el $\delta_k$ exactamente por el listado de la $2^k$
factores de $\prod_{i=1}^k p_k$, la clasificación de ellos, estableciendo $\delta=2$,
comparar cada uno de los $n_{\ell+1} / n_\ell$ con el valor actual de $\delta$,
y si $n_{\ell+1} / n_\ell$ es más pequeño de lo que es el nuevo $\delta$.
Esto toma alrededor de $2^k$ espacio y $k 2^k$ del tiempo.
Podemos reducir cada factor $2^k$ a $3^{k/2}$ por la división de
$\{p_1,\ldots,p_k\}$ en dos iguales o casi iguales subconjuntos $P_1,P_2$,
listado de $j=1,2$ todos los $3^{P_j}$ racionales de la forma
$\prod_{p \in P_j} p^{\alpha_p}$ con cada una de las $\alpha_p \in \{-1, 0, 1\}$,
la fusión y la clasificación de las dos listas, y minimizando sobre las relaciones entre
consecutivos elementos de las diferentes listas. Esto aumenta la factible
rango por un factor de $\log_3 4 = 1.26\!+$, y es como lo calcula
$\delta_k$ para $k \leq 36$ (en un par de horas de funcionamiento del gpen
un equipo en el que me pudiera allocatemem(2^37)).
Estamos próximos a tabular, para cada una de las $k \leq 36$, los valores de $\log_3 (1 / \delta_k)$
(lo cual parece bastante cerca de a $k$), seguido por el
la diferencia entre los dos $n_\ell$ con la relación más cercana a $1$
y los valores de esos dos $n_\ell$. Al $\delta_k = \delta_{k-1}$
hacemos uso de " marcas en lugar de repetir una fila.
1 | 0 1 2 1
2 | 0.631 1 3 2
3 | 1.465 1 6 5
4 | 2.402 1 15 14
5 | 2.771 1 22 21
6 | 3.954 1 78 77
7 | 5.981 1 715 714
8 | " " " "
9 | " " " "
10 | 7.030 1 2262 2261
11 | 8.559 1 12122 12121
12 | " " " "
13 | 10.491 1 101270 101269
14 | 10.765 7 958341 958334
15 | 13.277 1 2162095 2162094
16 | 13.385 9 21894574 21894565
17 | " " " "
18 | 14.237 269 1669770410 1669770141
19 | 15.039 296 4432525097 4432524801
20 | 16.459 95 6768250181 6768250086
21 | 17.492 1 221669903 221669902
22 | 17.989 479 183357752669 183357752190
23 | 20.727 1 7746395147 7746395146
24 | 20.899 241 2256564888159 2256564887918
25 | 22.260 31 1293752274846 1293752274815
26 | 22.260 31 1293752274846 1293752274815
27 | 23.709 8 1641739926263 1641739926255
28 | 25.220 1 1079415718590 1079415718589
29 | " " " "
30 | " " " "
31 | 28.015 3749 87225268563485259 87225268563481510
32 | 29.352 699715 70660131241710008586 70660131241709308871
33 | 30.221 208586 54759581443774708307 54759581443774499721
34 | " " " "
35 | 31.240 4 3216928369004441 3216928369004437
36 | 31.288 145948 123657879146878834849 123657879146878688901
Esto parece estar de acuerdo con los cálculos de Gerhard Paseman a a $k=20$ (excepto para el error ya se señaló en el final de la línea). No podía encontrar una secuencia en OEIS que coincide con alguna de ella.
Uno podría empujar a este cálculo de seguir usando la estructura de datos
se describe en este artículo
por D. J. Bernstein, lo que reduce la necesidad de espacio de
$3^{k/2}$ (o $2^k$) a la raíz cuadrada $3^{k/4}$ (o $2^{k/2}$)
sin considerablemente, aumentando el tiempo de ejecución. Yo no lo he probado
para implementar esto.
Finalmente, para aún mayor $k$ uno podría, probablemente, todavía se presentan algunos
los valores de $n_{\ell+1} / n_{\ell}$ que son razonablemente cerca de $1$
el uso de algoritmos tales como la liga de la leche para encontrar aproximado
entero de las relaciones en $\{ \log p_i \mid 1 \leq i \leq k \}$
(aunque sería más difícil de probar que uno ha encontrado el mínimo uno).
No he probado a hacer esto.
