El número de ceros de un polinomio en la unidad de disco

Question

Supongamos $m$ e $n$ son dos números enteros no negativos. ¿Cuál es el número de ceros del polinomio $(1+z)^{m+n}-z^n$ en la unidad de la bola de $|z|<1$?

Algunos cálculos para valores pequeños de $m$ e $n$ sugiere la siguiente fórmula: $$n-1+2\left\lfloor\frac{m-n+5}{6} \right\rfloor$$

¿Esta fórmula de trabajo para todos los valores de $m$ e $n$?

Answer 1

Me he encontrado con este problema hace un tiempo cuando se trabaja en condiciones de frontera en el grafeno, ver http://arxiv.org/abs/0710.2723 para más contexto. Desde que me gustó el problema y la solución, ahora me da como un ejercicio de prueba para los futuros estudiantes de Doctorado, y que es, quizás, cómo terminó aquí (bueno, supongo que voy a tener que reemplazar el problema ahora). La solución está dada en el apéndice B de la referencia anterior, voy a copiar para las personas interesadas.

La razón por la que pido para resolver este problema es porque la mejor manera de resolverlo es obtener primero la intuición de estudiar el problema numéricamente (por suerte, es fácil) y, a continuación, tratar de generalizar. Sin embargo la mayoría veo que los solicitantes de intentar aplicar métodos de libros de texto, a saber, el teorema de Rouché, lo que conduce a un desordenado integral y un callejón sin salida. Así que vamos a empezar con el estudio de cómo la ecuación de comportamiento. Permítanos parcela de soluciones para una elección particular de n y m:

En efecto, como se insinuó por @fedja en su comentario, vemos que las raíces se encuentran en un contorno que pasa a través de $-1/2 \pm i\sqrt{3}/2$. Ahora está claro lo que tiene que hacer. Podemos reescribir la ecuación en coordenadas polares:

$$|1+z|^{n+m} = |z|^n$$ $$(n+m)\arg(1+z) = n\arg(z) \mod 2\pi$$

La primera ecuación requiere que las raíces se encuentran en el contorno de la muestra en negrita en la figura de arriba. La segunda ecuación permite el recuento de las raíces entre dos puntos cualesquiera en este contorno mediante el cálculo del incremento de los argumentos entre estos dos puntos. Usando ese $\arg(1+z)$ e $\arg(z)$ cambio $\pm 2\pi/3$ monótonamente entre el $-1/2 -i\sqrt{3}/2$ e $-1/2 + i\sqrt{3}/2$ y contando las multiplicidades nos conduce a la respuesta correcta escrito anteriormente.

Para $n$ e $m$ divisible por $3$ hay dos raíces que se encuentran en el círculo unidad, lo cual fue importante para mí en el contexto de la aplicación de grafeno, y que es la frontera en caso de que @fedja mencionado.

Answer 2

Aquí está mi solución de este problema. Así tenemos el siguiente ecuación para los ceros: $$ (1+z)^{n+m}=z^n $$ Podemos modificar así: $$ \Bigl(1+\frac{1}{z}\Bigr)^n \Bigl(1+z\Bigr)^m = 1 $$ A continuación se pueden marcar el primer factor como $re^{i\varphi}$, por lo que la ecuación se divide en dos seres: $$ \Bigl(1+z\Bigr)^m = re^{i\varphi} \\ \Bigl(1+\frac{1}{z}\Bigr)^n = \frac{1}{r}e^{-i\varphi} $$ Vamos a considerar la primera ecuación. Tenemos que extraer la raíz: $$ 1 + z = r^{\frac{1}{m}} e^{i\frac{\varphi + 2 \pi k}{m}} $$ Siguiente tomamos distancia $1$ y anote el módulo de $z$ con la condición de $|z|<1$: $$ |z|^2 = |r^{\frac{1}{m}} e^{i\frac{\varphi + 2 \pi k}{m}} - 1|^2 = r^{\frac{2}{m}} - 2 r^{\frac{1}{m}} \cos \frac{\varphi + 2 \pi k}{m} + 1 < 1 $$ Por último, dividimos por $r^{\frac{1}{m}}$, así: $$ r^{\frac{1}{m}} < 2 \cos \frac{\varphi + 2 \pi k}{m} $$ Al mismo tiempo sabemos que $r^{\frac{1}{m}}<1$, por lo que tenemos que entender, que inecuaciones es más fuerte. Vamos a mark $z=\rho e^{i\psi}$, y anote las siguientes inecuaciones: $$ \Bigl|1 + \frac{1}{z}\Bigr|^2 = \rho^{-2} + 2\rho^{-1} \cos \psi + 1 > 1 $$ Siguiente, $$ \rho \cos \psi + 1 > \frac{1}{2} $$ Es claro que la parte izquierda es igual a $\Re \sqrt[m]{re^{i\varphi}}$, así: $$ r^{\frac{1}{m}} \cos \frac{\varphi + 2 \pi k}{m} > \frac{1}{2} $$ Porque de $r^{\frac{1}{m}} < 1$ tenemos: $$ \cos \frac{\varphi + 2 \pi k}{m} > \frac{1}{2} $$ Por lo tanto, $r^{\frac{1}{m}} < 1$ es más fuerte y tenemos $\cos \frac{\varphi + 2 \pi k}{m} > \frac{1}{2}$. A continuación, realizamos el mismo procedimiento para la segunda ecuación, y, finalmente, obtener otro inecuaciones: $$ \cos \frac{-\varphi + 2 \pi k'}{n} < \frac{1}{2} $$ Vamos a transformar estas inecuaciones: $$ -\frac{m}{6} < \frac{\varphi}{2\pi} + k < \frac{m}{6} \\ \frac{n}{6} < -\frac{\varphi}{2\pi} + k' < \frac{5n}{6} $$ Tenemos que quitarnos $\varphi$, así: $$ -\frac{m}{6} - \frac{\varphi}{2\pi} < k < \frac{m}{6} - \frac{\varphi}{2\pi} $$ Y: $$ -\frac{m}{6} + \frac{n}{6} - k' < k < \frac{m}{6} + \frac{5n}{6} - k' $$ Así que, finalmente: $$ \frac{n-m}{6} < \ell < \frac{5n+m}{6} $$ donde $\ell = k + k'$. El número de $\ell$'s, para satisfacer esta inecuaciones define el número de ceros en el disco unidad.