Recientemente me di cuenta de que la única Pid sé cómo escribir que no son campos se $\mathbb{Z}, F[x]$ para $F$ un campo, integral cierres de estos en lo finito extensiones de su fracción campos que tienen trivial grupo de clase, localizaciones de estos, y las terminaciones de las localizaciones de estos en un primer. Hay más exóticos ejemplos? No hay nada como una clasificación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No, a lo mejor de mi conocimiento no hay nada como una clasificación general de los Pid. A pesar de su fácil definición, resultan ser más bien una maniática de la clase de los anillos, como por ejemplo Gauss conjeturó que hay infinitamente muchos PIDs entre los anillos de enteros de real cuadrática campos, pero más de $200$ años después no hemos sido capaces de demostrar que existen infinitos PIDs entre los anillos de enteros de todos los campos de número. Y, como salió en los comentarios a Emil de la respuesta, la propiedad de ser un PID no es de primer orden, por lo que no es muy robusta en un modelo teórico de sentido. En ese sentido, la mejor clase de anillos de Bézout dominios, es decir, los dominios en los que cada finitely generado ideal es principal. Un teorema de Kaplansky que puede ser utilizado para mostrar que varios "grandes" de los dominios (por ejemplo, $\overline{\mathbb{Z}}$, el anillo de todos los enteros algebraicos) son de Bézout se puede encontrar al final de la sección sobre overrings en estas notas. (Me estoy dando menos precisas citas a mi a menudo-el cambio de álgebra conmutativa notas en la esperanza de que se va a tomar más tiempo para convertirse en obsoletos.)
Hay algunos interesantes artículos sobre la construcción de la Sección con diferentes propiedades. La que yo quiero leer el siguiente es esta 1974 papel de Raymond C. Heitmann: dado cualquier contables de la colección de $\mathcal{F}$ de los contables de los campos que contiene sólo un número finito de campos de cualquier característica positiva, Heitmann construye una contables PID de la característica $0$ con residuos de campos precisamente los elementos de $\mathcal{F}$.
Añadido: tenga en cuenta que $\overline{\mathbb{Z}}$ es también una de antimateria de dominio, es decir, no tiene elementos irreductibles (que los especialistas en el campo tienden a llamar "átomos"). Por lo tanto esto le da un ejemplo de una de Bézout dominio que no es un ultraproduct de los Pid.
ylluminate
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sickgemini
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2001
Un álgebra conmutativa es un PID si y sólo si es un UFD y todos distintos de cero el primer ideales son máximas. Esto lleva a un interesante método para construir PID: Vamos a $R$ ser un UFD y deje $S \subset R$ ser un multiplicativo conjunto tal que, para cualquier prime $\mathfrak{p} \subset R$ de la altura de la $\geq 2$, hay algunos $f \in S$ con $f \in P$. A continuación, $S^{-1} R$ será un PID, porque localizaciones de la UFD son UFD y el poset de primer ideales en $S^{-1} R$ se obtiene a partir de la poset de primer ideales en $R$ mediante la eliminación de aquellos ideales que contienen un elemento de $S$.
Esto puede ser útil para la construcción de contraejemplos, porque $S^{-1} R$ es el avance límite de $f^{-1} R$ sobre todo $f \in S$, y cada una de las $f^{-1} R$ va a ser un disco flash usb, pero no un PID, de modo que uno puede tomar contraejemplos en UFD y hacer de ellos PID contraejemplos por este truco. Hablando vagamente, a pesar de $S^{-1} R$ ha dimensión de Krull $1$, que a menudo actúa más como un anillo de dimensión igual a la dimensión de Krull de $R$.
Aprendí acerca de esta construcción de Grayson papel "$SK_1$ de una interesante principal ideal de dominio". El PID en cuestión es tomar $R = \mathbb{Z}[T]$ e $S = \{ T \} \cup \{ T^n-1 : n > 0 \}$, y la propiedad interesante es que $SL_n(S^{-1} R)$ es no generados por matrices elementales.
No me resisto a mostrar apagado: Después de leer Grayson papel, he llegado a la siguiente sencillo ejemplo. Deje $R = \mathbb{R}[x,y]$ y deje $S$ ser el conjunto de polinomios de distinto de cero en $\mathbb{R}[x^2+y^2]$. A continuación, $S^{-1} R$ es un PID por el argumento anterior. Yo reclamo que $M= \left[ \begin{smallmatrix} x/(x^2+y^2) &y/(x^2+y^2) \\ -y&x \end{smallmatrix} \right]$ no es un producto de matrices elementales. Supongamos que $M=E_1 E_2 \cdots E_n$. Luego los denominadores de las $E_j$ sólo contienen un número finito de elementos de $S$, de modo que todas las $E_j$ mentira en $f(x^2+y^2)^{-1} R$ para algunos distinto de cero el polinomio $f$. Elige algún número real $r$ , de modo que $f(r^2) \neq 0$, entonces cada una de las $E_j$ es una función continua en el círculo de $x^2+y^2 = r^2$. Por lo $M=E_1 E_2 \cdots E_n$ da un mapa de este círculo a $SL_2(\mathbb{R})$. Considerar la clase de este mapa en $H_1(SL_2(\mathbb{R})) \cong \mathbb{Z}$. Reescalado cada uno de fuera de la diagonal de la entrada de la $E_j$ por un número real $t$ y deslizando $t$ de $1$ a $0$ es un homotopy a la trivial mapa, por lo que esta clase es $0$. Por otro lado, $\left[ \begin{smallmatrix} x/(x^2+y^2) &y/(x^2+y^2) \\ -y&x \end{smallmatrix} \right]$ representa el generador de $H_1$, una contradicción. El mismo argumento muestra que el bloque de la matriz $\left[ \begin{smallmatrix} M & \\ & \mathrm{Id}_{n-2} \end{smallmatrix} \right]$ en $SL_n(S^{-1} R)$ no es también un producto de matrices elementales (esta vez tenemos $H_1(SL_n(\mathbb{R}))\cong H_1(SO_n(\mathbb{R})) \cong \mathbb{Z}/2$, y necesitamos girar grupos para el cálculo de la clase en $H_1$, pero creo que todavía funciona.).
Nick Cox
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Queridos Qiaochu, si $A$ es un discreto anillo de valoración y si $B$ es un étale álgebra sobre$A$,, a continuación, $B$ es un discreto anillo de valoración. En el mismo tenor, el henselization de una discreta valoración anillo de $A$ es un discreto anillo de valoración $A^h$ (sin embargo, no es étale más de $A$, por ejemplo, porque no es finitely generado ).Si $A$ es el anillo local de un punto en una curva en la topología de Zariski, a continuación, $A^h$ es el anillo local de ese punto en el étale topología.
Un ejemplo concreto: el henselization de el anillo local $A=\mathcal O_{\mathbb A^1,0}$ de la compleja afín a la línea en el origen es el sub-anillo del anillo de formal de la serie de $\mathbb C [[T]]$ consiste de esas series que son algebraicos sobre $A$.
Estas parecen ser ejemplos no en su lista, pero voy a dejar que sea el juez de su exotismo....
