Deje $X$ $G$- espacio, donde $G$ es un (discreta) de grupo. Para un subgrupo $H$$G$, definir$$X^H = \{x : hx = x \text{ for all }h \in H\} \subset X;$$$X^H$ es el $H$-punto fijo subespacio de $X$. Topologize el conjunto de funciones de $G/H \to X$ como el producto de copias de $X$ indexada en los elementos de la $G/H$, y dar al conjunto de $G$-mapas de $G/H \to X$ la topología de subespacio. Es el espacio de la $G$-mapas de $G/H \to X$ natural homeomórficos a $X^H$?
Respuesta
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Andrey Ryabichev
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La respuesta es Sí.
Por definición, $Maps(G/H,X)=\prod_{gH\in G/H}X_{gH}$. Para definir el mapa de $\phi:X^H\to Maps(G/H,X)$, vamos a $gH$-ésima coordenada de $\phi(x)$$gx$. Vemos que $\phi$ es continua inclusión (porque fo todas las composiciones $X^H\to Maps(G/H,X)\to X_{gH}$ son continuas). Si tomamos arbitraria $G$-mapa de $f\in Maps(G/H,X)$$f(eH)=y$, es fácil ver que $y\in X^H$$f=\phi(y)$.
Considere la posibilidad de la proyección de $p_e$$\prod_{gH\in G/H}X_{gH}$$X_{eH}$. Por definición de la topología de un producto, $p_e$ será continua, y $p_e\circ\phi=Id_{X^H}$, lo $X^H$ y en el espacio de $G$-mapas tienen la misma topología.
