Aquí están algunos comentarios sobre las preguntas de la publicación.
Cada complejo algebraicas variedad tiene la homotopy tipo de un número finito de CW-complejos, por lo que los números de Betti son finitos, y la característica de Euler es bien definida. Para simplificar considerar la cuasi-proyectiva caso. Deje $X\subset \mathbf{P}^n(\mathbf{C})$ ser una variedad proyectiva y deje $Y$ ser una subvariedad cerrada, entonces podemos considerar tanto $X$ e $Y$ real algebraica de las variedades de las $\mathbf{P}^{2n}(\mathbf{R})$. Ahora verdaderos espacios proyectivos se pueden incrustar en los afín espacios, frente a la compleja caso: se puede asociar a una línea de $l$ en $\mathbf{R}^{k+1}$ la única proyección ortogonal con la imagen de $l$. Una táctica similar existe más de un campo arbitrario (el Jouanolou truco), pero es la singularidad de la proyección que nos da una incrustación en el caso real. En las coordenadas tomamos un punto de $(x_0:\cdots: x_k)$ a de la $k+1$ por $k+1$ matriz $(\frac{x_i x_j}{\sum x_i^2})$.
Esto implica que el real variedades proyectivas son afines. A continuación, se puede utilizar el teorema de triangulación para el real afín variedades, como se presenta por ejemplo en Hironaka del Arcata 1974 conferencias para triangular $X$, de modo que $Y$ es un subcomplejo; esto da una triangulación de $X\setminus Y$ (infinito si $Y$ es no vacío) y de un número finito de CW complejo homotopy equivalente a $X\setminus Y$.
Estoy bastante seguro de que un resultado similar para arbitrario (no necesariamente proyectiva) complejo de variedades algebraicas y también para algebraicas, espacios, pero nunca he visto los detalles trabajado en la literatura.
La otra pregunta (si o no la estructura algebraica que determina la cohomology) no es completamente trivial, ya sea (y la respuesta depende de lo que exactamente uno de los medios por cohomology). Si $X$ se define a través de una extensión finita $F$ de % de $\mathbf{Q}$ e $X'=X\times_F\mathbf{C}$ para algunos de incrustación $F\subset\mathbf{C}$, entonces el cohomology anillo de $X'(\mathbf{C})$ con finito de coeficientes no dependen de la incrustación de objetos (y por lo tanto tampoco el complejo cohomology de anillo), ver Freitag-Kiehl', \'Etale cohomology, theprem 11.6. Se trata de una vieja pregunta de Grothendieck si el racional cohomology anillo puede depender de la incrustación. Resultó incluso el real cohomology anillo, como se ha demostrado recientemente por F. Charles. Ver www.math.ens.fr/~charles/crll5855.pdf
upd: aquí es un procedimiento explícito para obtener la característica de Euler de la algebraicas de datos: como se mencionó en los comentarios, si $X$ es suave y completa, podemos tomar la alternancia suma de Euler características de $\underline{\Omega^i}_X$'s. Si $X$ el complemento de un simple normal cruce divisor $D_1\cup\cdots \cup D_k$ en un suave completa $D_{\varnothing}$, luego $$\chi(X)=\sum_{I\subset\{1,\ldots,k\}}(-1)^{|I|}\chi(\cap_{i\in I} D_i).$$ Here we use the fact that the differentials in a spectral sequence do not change the Euler characteristic. In general one stratifies $X$ so that the difference of any two consecutive strata is smooth and takes the sum of the Euler characteristics of the strata. Using a similar procedure one can compute the Serre characteristic, which is a 2 variable analog; it can be seen as the image of the compactly supported cohomology in the Grothendieck group not of $\mathbf{P}$-espacios vectoriales, pero de la mezcla de estructuras de Hodge.
