Expresión de la función Zeta de Riemann en términos de GCD y LCM

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación? Sea $\zeta(s)$ sea la función zeta de Riemann. Observé que como para grandes $n$ como $s$ aumentado,

$$ \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n\sum_{i = 1}^{k} \bigg(\frac{\gcd(k,i)}{\text{lcm}(k,i)}\bigg)^s \approx \zeta(s+1) $$

o equivalentemente

$$ \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n\sum_{i = 1}^{k} \bigg(\frac{\gcd(k,i)^2}{ki}\bigg)^s \approx \zeta(s+1) $$

Algunos valores de $s$ El LHS y el RHS se dan a continuación

$$(3,1.221,1.202)$$ $$(4,1.084,1.0823)$$ $$(5,1.0372,1.0369)$$ $$(6,1.01737,1.01734)$$ $$(7,1.00835,1.00834)$$ $$(9,1.00494,1.00494)$$ $$(19,1.0000009539,1.0000009539)$$

Nota : Esta pregunta fue publicada en MSE . Pero no tenía la respuesta correcta.

Answer 1

Permítanme denotar su LHS por $f(n,s)$ . Para par fijo $n$ Demostraré que $f(n,s)-1\sim\zeta(s+1)-1$ como $s\to\infty$ Eso es, $$\lim_{s\to\infty}\frac{f(n,s)-1}{\zeta(s+1)-1}=1.$$ Este resultado expresa muy bien tus observaciones numéricas, que muestran que las partes después del punto decimal parecen ser asintóticamente iguales.

Por un lado, tenemos $\zeta(s+1)-1=2^{-s-1}+3^{-s-1}+\dots$ . Los términos posteriores al segundo pueden estimarse desde arriba mediante la integral $\int_2^\infty x^{-s-1}dx=\frac{2^{-s}}{s}$ por lo que vemos que $\zeta(s+1)-1\sim 2^{-s-1}$ .

Por otra parte, entre pares $(k,i)$ con $1\leq k\leq n,1\leq i\leq k$ la expresión $\frac{\gcd(k,i)}{\operatorname{lcm}(k,i)}$ es igual a $1$ para exactamente $n$ pares $(k,k)$ y es igual a $2^{-1}$ para exactamente $n/2$ pares $(2k,k)$ . Todos los demás términos, de los que sin duda hay menos de $n^2$ son como máximo $3^{-1}$ . Por lo tanto, encontramos $$f(n,s)=\frac{1}{n}\left(n\cdot 1+\frac{n}{2}\cdot 2^{-s}+O(n^23^{-s})\right)=1+2^{-s-1}+o(2^{-s})$$ probando $f(n,s)-1\sim 2^{-s-1}$ . De ello se deduce que $f(n,s)-1\sim\zeta(s+1)-1$ como queríamos.

Permítanme subrayar que en el cálculo anterior era crucial que $n$ estaba en paz. Si $n$ es impar, entonces en su lugar sólo obtenemos $\frac{n-1}{2}$ pares $(2k,k)$ y la asíntota se vuelve ligeramente sesgada - entonces obtenemos $f(n,s)-1\sim\frac{n-1}{n}(\zeta(s+1)-1)$ . Para grandes $n$ Sin embargo, la diferencia es bastante insignificante.

Answer 2

Una variedad de fórmulas de este tipo (en el sentido de una relación entre $\zeta(s)$ y una suma sobre gcd o lcm) ha sido derivada por Titus Hilberdink y László Tóth en Sobre el valor medio del mínimo común múltiplo de k enteros positivos (2016), véase también Sobre la distribución del máximo común divisor por Diaconis y Erdȍs. Cito

$$\sum_{i,k=1}^n \big(\text{lcm}(k,i)\big)^s=\frac{\zeta(s+2)}{\zeta(2)}\frac{n^{2s+2}}{(s+1)^2}+{\cal O}(n^{2s+1}\log n),$$ $$\sum_{i,k=1}^n \big(\gcd(k,i)\big)^s=\left(\frac{2\zeta(s)}{\zeta(s+1)}-1\right)\frac{n^{s+1}}{s+1}+{\cal O}(n^{s}\log n),$$ $$\sum_{i_1,i_2,\ldots i_s=1}^n \gcd(i_1,i_2,\ldots i_s)=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}n^s+{\cal O}(n^{s-1}),\;\;s\geq 4.$$

La primera referencia de este tipo de series es Ernest Cesàro, Estudio de la media del máximo común divisor de dos números (1885).

Answer 3

Su sumando es simétrico con respecto a $k$ y $i$ :

$$f(n,s) = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n \sum_{i = 1}^{k} \bigg(\frac{\gcd(k,i)}{\operatorname{lcm}(k,i)}\bigg)^s$$

Podemos sumar a lo largo de las diagonales oblicuas para evaluar la suma. Es decir, podemos convertir $(k,i)$ a la forma polar $(\sqrt{k^2 + i^2}, tan^{-1}\frac{i}{k})$ . Por simetría del sumando, los rayos desde el origen tienen el mismo valor.

Es decir, cuando $\theta = tan^{-1}\frac{i}{k}$ , $i = k \tan\theta$ . Podemos variar $\theta$ de $[0, \frac{\pi}{4}]$ . En $\gcd(j,j\tan \theta)$ es independiente de $j$ pero depende de $\theta$ Por lo tanto, podemos utilizar $n$ :

$$\frac{1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sum_{j=0}^{n} \left[\frac{\gcd(j,j\tan\theta)}{\operatorname{lcm}(j,j\tan\theta)}\right]^{s} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\gcd(n,n\tan\theta)}{\operatorname{lcm}(n,n\tan\theta)}\right]^{s} d\theta = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k^{s+1}} \rightarrow \zeta(s+1)$$

La integral polar(La integral no es continua en $\theta$ sino sobre el irracional( $\tan\theta = \frac{i}{k}$ implica $\theta$ es irracional) que corresponden a los rayos) a la suma se calcula con bastante facilidad porque los valores a lo largo de cada rayo son constantes con respecto a $j$ . Cada rayo corresponde a uno de los valores de $\frac{1}{k^s}$ pero tienen un peso de $\frac{1}{k}$ .

Por ejemplo, el rayo que acumula $1$ tiene $\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ para $\frac{1}{2^s}$ es $\theta = \tan^{-1}(2)$ pero tiene $\frac{1}{2}$ la densidad de $1$ . Lo mismo para todos los demás.

Si tiene problemas para seguir esto, simplemente consulte $\frac{\operatorname{lcm}(k,i)}{\gcd(k,i)}$ en forma "polar", te lo pondré fácil (el formato de texto oscurece los patrones, pero están ahí):

\begin{matrix} \color{green}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \\ \color{blue}2 & \color{green}1 & 6 & 2 & 10 & 3 & 14 & 4 & 18 & 5 & \\ \color{red}3 & 6 & \color{green}1 & 12 & 15 & 2 & 21 & 24 & 3 & 30 & \\ 4 & \color{blue}2 & 12 & \color{green}1 & 20 & 6 & 28 & 2 & 36 & 10 & \\ 5 & 10 & 15 & 20 & \color{green}1 & 30 & 35 & 40 & 45 & 2 & \\ 6 & \color{red}3 & \color{blue}2 & 6 & 30 & \color{green}1 & 42 & 12 & 6 & 15 & \\ 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & \color{green}1 & 56 & 63 & 70 & \\ 8 & 4 & 24 & \color{blue}2 & 40 & 12 & 56 & \color{green}1 & 72 & 20 & \\ 9 & 18 & \color{red}3 & 36 & 45 & 6 & 63 & 72 & \color{green}1 & 90 & \\ 10 & 5 & 30 & 10 & \color{blue}2 & 15 & 70 & 20 & 90 & \color{green}1 & \\ \end{matrix}

Si te fijas puedes ver $k$ que tiene el valor constante $\frac{\color{green}1}{k^s}$ (se muestra como $k$ en la tabla) pero se repiten a un ritmo de $\frac{\color{green}1}{k}$ a lo largo del rayo.

Alternativamente, si escribimos la tabla en coordenadas polares (estamos rotando el espacio de coordenadas 45 grados) obtenemos \begin{matrix} \color{green}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & \color{blue}2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & 0 & \color{red}3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & \color{blue}2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & \color{blue}2 & \color{red}3 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & \color{blue}2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 0 & \\ \color{green}1 & 0 & \color{red}3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 & 0 & \\ \color{green}1 & \color{blue}2 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & \color{green}10 & \\ \end{matrix}

Donde ahora el $k$ ª columna es la " $k$ rayo "th". Es decir, la primera columna de la tabla anterior corresponde a las diagonales/rayos de la tabla superior.