La distribución del término de Error en GH Hardy "curioso resultado" $\sum_{\nu \leq n } \{ \nu \theta \}^2 = \tfrac{1}{12} n + O(1)$

Question

En una de las primeras papel, GH Hardy habla sobre la distribución de los "curiosos" suma:

$$ \sum_{\nu \leq n } \{ \nu \theta \}^2 = \tfrac{1}{12} n + O(1)$$

donde $\{x\}:=x-\left \lfloor x \right \rfloor -1/2$. Con un equipo que no era difícil para verificar el crecimiento lineal, el factor de $\frac{1}{12}$ o de la constante término de error. Aquí están mis experimentos:

La línea es bastante fácil de demostrar con Weyl equidistribución teorema - sin el $O(1)$ plazo.

$$ \frac{1}{n}\sum_{\nu \leq n } \{ \nu \theta \}^2 \aprox \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x^2 \, dx = \frac{1}{12} $$

Hay maneras fáciles de comprender el ruido? Claramente no tiene límite... en la figura de la $\theta = \sqrt{7}$ la $O(1)$ término de error se distribuye entre 0,05 y 0.30 con clara bandas indeterminado de valores.

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Obviamente $\theta \notin \mathbb{Q}$, e incluso luego de la incertidumbre que podría ser demasiado grande.

Yo había calculado la serie de Fourier en el fin de trazar la prueba de Von Neumann ergodic teorema.

Podemos trazar la suma de las funciones de diente de sierra. Los 10 primeros y los primeros 100 términos. El límite de $\sum_{\nu \leq n} \{ \nu \theta \}^2$ es altamente oscilatorio pero no convergen en algunos puntos.

Answer 1

Hay varios desconcertante cosas acerca de la cuestión: en primer lugar, de curso $\theta$ debe ser irracional, y está destinado a $\{ x\}$ para denotar el polinomio de Bernoulli $x-[x]-1/2$ en lugar de la más habitual parte fraccionaria. En segundo lugar, cuando es el resultado de Hardy? ¿ Encontré esta declaración en el Cambridge ICM papel de Hardy y Littlewood, donde se escribe

"Durante su participación en el intento de dilucidar estas las preguntas que hemos encontrado un curioso resultado que parece de suficiente interés como para ser mencionados por separado. Es que $$ \sum_{\nu =1}^{n} \{ \nu \theta\}^2 = \frac{n}{12} +O(1) $$ para todos los irracionales valores de $\theta$. Si tenemos en cuenta la gran irregularidad de la oscuridad de $\ldots$, no es un poco sorprendente que [este] (y, presumiblemente, la suma correspondiente con mayor aún poderes) deben comportarse con tan marcados la regularidad."

Tenga en cuenta que Hardy y Littlewood, también el uso de $\{x\}$ para denotar el polinomio de Bernoulli. Esto es desconcertante, ya que parece completamente falso, si, por ejemplo, $\theta$ es un número de Liouville. De hecho, entonces me encontré con un seguimiento periódico de Hardy y Littlewood, donde se nota (consulte la página 36 hay)

"Podemos aprovechar esta oportunidad de corregir un error en la comunicación para el Cambridge congreso de $\ldots$. Se dijo allí que $$ \sum_{\nu =1}^{n} \{ \nu \theta\}^2 = \frac{n}{12} +O(1) $$ para cada irracionales $\theta$. Esto no es cierto; pero la ecuación tiene muy general de las clases de valores de $\theta$, y en particular, por los $\theta$ cuyos cocientes parciales son acotados."

Lo que Hardy y Littlewood, tenía en mente es probablemente para escribir la expansión de Fourier de la de Bernoulli polinomio $(x-[x]-1/2)^2 -1/12$ que es $$ \frac{1}{2\pi^2} \sum_{k\neq 0} \frac{e^{2\pi i kx}}{k^2}, $$ y, a continuación, suma sobre esto $x = \nu \theta$. Desde aquí uno puede ver que lo que se necesita para que su resultado es que si $\Vert k\theta \Vert$ no es menor que $k^{-2+\epsilon}$, entonces la serie converge muy bien, pero no habrá problemas para muy bien approximable números. El uso de la transformada de Fourier de expansión, para bueno irrationals (por ejemplo,$\sqrt{7}$) la expansión de Fourier demuestra que el resto término tiene casi un periódico de la estructura.

Answer 2

Como se indica en Lucía de la respuesta, podemos mirar a la transformada de Fourier

$$\{ \nu \theta \} ^2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{2 \pi^2} \sum_{k \neq 0} \frac{\exp(2 \pi i k \nu \theta)}{k^2} $$

Intercambiando las sumas que se le da (salvo errores de mi parte)

$$ \sum_{\nu=1}^n \{ \nu \theta \}^2 = \frac{n}{12} + \frac{1}{\pi^2} \sum_{k =1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \csc(\pi k \theta) \sin(\pi k n \theta) \cos(\pi k (n+1) \theta) $$

Ahora, se olvidan de que $n$ es una variable discreta, y en lugar varía continuamente. El término de error es sólo una combinación lineal de desplazamiento de las ondas sinusoidales, cada uno de los cuales tiene un período de exactamente dividiendo $1 / \theta$.

En consecuencia, el término de error es periódica, y el observado errores muy de cerca parecerse a la distribución llegamos desde asumiendo $n$ es una variable aleatoria uniformemente distribuida a través de un periodo.

Después de agregar por $0.25$ (ya que parece estar tomando la suma de partida de $\nu=0$), un aproximado de la trama de los primeros términos de $\theta = \sqrt{7}$ es:

(obtenido a partir de wolframalpha)

A partir de la cual debemos esperar que los errores a tener especialmente alta densidad de cerca de $0.18$, y la alta densidad de cerca de $0.16$, $0.20$, y cerca de los extremos de la $0.10$ e $0.26$, y que los errores deben tener una densidad relativamente baja en el en-entre las regiones.

Esto es casi exactamente lo que ve desde su parcela, excepto por un cambio, el cual podría explicarse a partir de la adición de la media de la cola.

Con más precisión y tomar más términos de la serie, deberíamos ser capaces de observar todas las características de los datos.

Answer 3

Este es un enfoque en el término de error. La idea es utilizar Koksma la desigualdad y Erdos-Turan desigualdad. He utilizado este en un problema en el MSE: $\sum \frac{(-1)^n|\sin n|}n$. Recordar,

Teorema [Koksma]

Deje $f$ ser una función en $I=[0,1]$ de variación acotada $V(f)$, y supongamos que tenemos $N$ puntos $x_1, \ldots , x_N$ en $I$ con discrepancia $$ D_N:=\sup_{0\leq a\leq b\leq 1} \left|\frac1N \#\{1\leq n\leq N: x_n \in (a,b) \} -(b-a)\right|. $$ Entonces $$ \left|\frac1N \sum_{n\leq N} f(x_n) - \int_I f(x)dx \right|\leq V(f)D_N. $$

Teorema [Erdos-Turan]

Deje $x_1, \ldots, x_N$ ser $N$ puntos en $I=[0,1]$. Entonces, hay una absoluta constante $C>0$ tal que para cualquier entero positivo $m$, $$ D_N\leq C \left( \frac1m+ \sum_{h=1}^m \frac1h \left| \frac1N\sum_{n=1}^N e^{2\pi i h x_n}\right|\right). $$

Estamos utilizando estos en la secuencia de $x_n = n \theta \ \mathrm{mod} \ 1$ e $f(x) = (x -\frac12)^2$. Por Erdos-Turan y el Lema 3.3 en Kuipers y Neiderrater 'Uniforme la Distribución de las Secuencias', obtenemos la siguiente cota de discrepancia:

Lema

Deje $\theta$ ser irracional número real. Si $\mu$ es la irracionalidad de la medida de $\theta$, la discrepancia $D_N$ para la secuencia de $n\theta \ \mathrm{mod} \ 1$ satisface $$ D_N \ll N^{-\frac1{\mu-1}+\epsilon}. $$

Por lo tanto, se obtiene la siguiente estimación:

Deje $\theta$ ser irracional número real con la irracionalidad de medida $\mu$, luego tenemos $$ \sum_{\nu\leq n} \{ \nu\theta \}^2 = \frac n{12} + O\a la izquierda( n^{1-\frac1{\mu-1} + \epsilon } \right). $$

Tenga en cuenta que $\mu=2$ en casi todas las $\theta\in\mathbb{R}$ rendimiento del término de error vinculado $O(n^{\epsilon})$.

Kuipers y Neiderrater del libro también contiene el siguiente resultado:

Teorema de Si $\theta\in\mathbb{R}\backslash \{0\}$ tiene una limitada parcial de cocientes en la continuidad de la fracción, a continuación, $$ D_N\ll \frac{\log N}N. $$

Para $\theta=\sqrt 7$, ha periódicos parciales de cocientes, por lo que tenemos

$$ \sum_{\nu\leq n} \{ \nu\theta \}^2 = \frac n{12} + O\left( \log n \right) $$ que es mejor que el de $O(n^{\epsilon})$.