Es universalmente cerrado de morfismos de esquemas cuasi-compacto ?

Question

Una de morfismos de esquemas $f:X\to S$ se dice que el ser cuasi-compacto si para cada ABIERTO cuasi-compacto subconjunto $K \subset S$ el subconjunto $f^{-1}(K) \subset X$ también es cuasi-compacto (y abierto, por supuesto!). Los morfismos $f:X\to S$ dice estar cerrado si para cada morfismos $T\to S$ la base resultante cambiado de morfismos $X_T \to T$ es cerrado. La pregunta del título (inspirado por la topología) es entonces:

Pregunta 1: Si $f:X\to S$ es universalmente cerrado, no se sigue que la $f$ es cuasi-compacto?

Aquí es una variante de esta pregunta, solicitando una fuerte conclusión :

Pregunta 2: Si $f:X\to S$ es universalmente cerrado, no se sigue que para cada cuasi-compacto subconjunto $K\subset S$, abierto o no, $f^{-1}(K)$ es cuasi-compacto ?

OBSERVACIÓN 1 La inversa de la Pregunta 1 es falsa: cualquier morfismos entre afín a sistemas cuasi-compacto, pero no es universalmente cerrado en general.

OBSERVACIÓN 2 Uno podría preguntarse si $f$ adecuada implica $f$ cuasi-compacto. La respuesta es "sí", pero para un irrelevante razón: adecuado se define como separados, universalmente cerrado y finito de tipo. Desde finitos tipo ya implica cuasi-compacto, adecuado, obviamente, implica cuasi-compacto.

OBSERVACIÓN 3 En la topología de la "correcta" es (o debe ser !) se define como universalmente cerrado; equivalentemente, cerrado con cuasi-fibras compactas. Topológicamente correcta implica que cada cuasi-subconjunto compacto (abierto o no) del codominio ha cuasi-compacto inversa de la imagen. El recíproco no es cierto en general, pero es localmente compacto espacios.

OBSERVACIÓN 4 (editado).Como BCnrd apunta en su comentario a continuación, no es del todo claro que las dos preguntas son equivalentes (I había declarado que estaban en la versión anterior de este post, pero me retracte de esa afirmación ). También, ten en cuenta que en la topología de la noción de cuasi-compacto mapa continuo es tan débil como para ser esencialmente inútil, ya que decente espacios topológicos, los algebraica de los geómetras no utilizar nunca :) , tenemos tan pocos abrir cuasi-compacto subconjuntos.

Answer 1

Sí, universalmente cerrado de morfismos es cuasi-compacto. (Todavía no he comprobado si el mismo enfoque de las respuestas a la pregunta 2.)

Prueba: Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $S=\operatorname{Spec} A$ para algunos ring $A$, y que $f$ es surjective. Supongamos que $f$ no es cuasi-compacto. Tenemos que mostrar que $f$ no es universalmente cerrado.

Escribir $X = \bigcup_{i \in I} X_i$ cuando la $X_i$ son afines abrir subschemes de $X$. Deje $T=\operatorname{Spec} A[\{t_i:i \in I\}]$, donde el $t_i$ son distintos indeterminates. Deje $T_i=D(t_i) \subseteq T$. Deje $Z$ ser el conjunto cerrado $(X \times_S T) - \bigcup_{i \in I} (X_i \times_S T_i)$. Basta probar que la imagen de $f_T(Z)$ de % de $Z$ bajo $f_T \colon X \times_S T \to T$ no está cerrado.

Existe un punto de $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ tal que no hay ningún barrio de $U$ de % de $\mathfrak{p}$ en $S$ tal que $X_U$ es cuasi-compacta, ya que de lo contrario podríamos cubrir $S$ con un número finito de estos $U$ y demostrar que $X$ sí era cuasi-compacto. Corregir tal $\mathfrak{p}$, y deje $k$ ser su residuo de campo.

Primero comprobamos que $f_T(Z_k) \ne T_k$. Deje $\tau \in T(k)$ ser el punto tal que $t_i(\tau)=1$ para todos los $i$. A continuación, $\tau \in T_i$ para todos los $i$, y la fibra de $Z_k \to T_k$ sobre $\tau$ es isomorfo a $(X - \bigcup_{i \in I} X_i)_k$, que está vacía. Por lo tanto $\tau \in T_k - f_T(Z_k)$.

Si $f_T(Z)$ fueron cerradas en $T$, existiendo un polinomio $g \in A[\{t_i:i \in I\}]$ de fuga en $f_T(Z)$, pero no en $\tau$. Desde $g(\tau) \ne 0$, algunos coeficiente de $g$ tendría un valor distinto de cero de la imagen en $k$, y por lo tanto invertible en un barrio $U$ de % de$\mathfrak{p}$. Deje $J$ ser el conjunto finito de $j \in I$ tal que $t_j$ aparece en $g$. Desde $X_U$ no es cuasi-compacto, se puede elegir un punto de $x \in X - \bigcup_{j \in J} X_j$ acostado encima de los $u \in U$. Desde $g$ tiene un coeficiente que es invertible en $U$, podemos encontrar un punto de $P \in T$ está por encima $u$ tal que $g(P) \ne 0$ e $t_i(P)=0$ para todos los $i \notin J$. A continuación, $P \notin T_i$ por cada $i \notin J$. Un punto de $z$ de % de $X \times_S T$ la asignación a $x \in X$ e a $P \in T$ pertenece a $Z$. Pero $g(f_T(z))=g(P) \ne 0$, por lo que esto contradice el hecho de que $g$ se desvanece en $f_T(Z)$.

Answer 2

La prueba interesante ha sido también incluido en la encuesta

Picavet, Gabriel, los Recientes avances en inundaciones: una encuesta y nuevas propiedades, Álgebra De 2013, Artículo de IDENTIFICACIÓN 128064, 14 p. (2013). ZBL1328.14005..