Consecuencias de la fórmula vector-valor propio hallada mediante el estudio de los neutrinos

Question

Este artículo describe el descubrimiento por parte de tres físicos, Stephen Parke del Fermi National Accelerator Laboratory, Xining Zhang de la Universidad de Chicago, y Peter Denton del Brookhaven National Laboratory, de una sorprendente relación entre los vectores propios y los valores propios de Hermitiana encontradas al estudiar los neutrinos.

El resultado se ha redactado en colaboración con Terence Tao aquí . Según tengo entendido, aunque ya se habían observado resultados muy similares, hasta ahora no se había establecido explícitamente el vínculo con el cálculo de los vectores propios. Para completar, aquí está el resultado principal, "Lemma 2" de su documento:

Sea $A$ ser un $n × n$ Matriz hermitiana con valores propios $\lambda_i(A)$ y los vectores propios normalizados $v_i$ . Los elementos de cada vector propio se denominan $v_{i,j}$ . Sea $M_j$ sea el $(n 1) × (n 1)$ submatriz de $A$ que resulta de borrar el $j^{\text{th}}$ y la columna $j^{th}$ fila, con valores propios $\lambda_k(M_j)$ .

Lema 2 . La norma al cuadrado de los elementos de los vectores propios está relacionada con la valores propios y los valores propios de la submatriz, $$|v_{i,j}|^2\prod_{k=1;k\neq i}^n(\lambda_i(A)-\lambda_k(A))=\prod_{k=1}^{n-1}(\lambda_i(A)-\lambda_k(M_j))$$

Me preguntaba cuáles son las consecuencias matemáticas de este bello resultado.

Por ejemplo, ¿existen generalizaciones de dimensión infinita? ¿Afecta a los algoritmos matriciales o a sus pruebas? ¿Qué ocurre con valores singulares ?

Answer 1

El PO pregunta sobre generalizaciones y aplicaciones de la fórmula en arXiv:1908.03795 .

$\bullet$ En cuanto a las generalizaciones: He encontrado un artículo más antiguo, de 1993, donde parece que se ha obtenido el mismo resultado que en el artículo de 2019 para normal matrices (con posibles valores propios complejos), y no sólo para matrices hermitianas: Sobre los valores propios de submatrices principales de matrices normales, hermitianas y simétricas de Peter Nylen, Tin-Yau Tam y Frank Uhlig (1993): teorema 2.2 (con la identificación $b_{ij}=|u_{ij}|^2$ al final de la prueba).

Otra generalización a una firmado producto interior se ha dado en Sobre los valores propios de submatrices principales de matrices J-normales (2011). En dicho asunto $b_{ij}=\epsilon_i\epsilon_j|u_{ij}|^2$ con $\epsilon_i=\pm 1$ la firma del producto interior: $(x,y)=\sum_i \epsilon_i x_i^\ast y_i$ .

$\bullet$ En cuanto a las solicitudes: en el artículo de 1993 el teorema se utiliza para resolver el siguiente problema: ¿cuándo una normal $n\times n$ matriz $A$ con submatrices principales $M_j$ existen, dados los conjuntos de distinto valores propios (complejos) $\lambda_i(A)$ de $A$ y $\lambda_k(M_j)$ de $M_j$ . La respuesta es que la matriz $B$ con elementos $$b_{ij}=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(\lambda_i(A)-\lambda_k(M_j))}{\prod_{k=1;k\neq i}^n(\lambda_i(A)-\lambda_k(A))}$$ debe ser unistochastic lo que significa que $b_{ij}=|u_{ij}|^2$ donde la matriz $U$ con elementos $u_{ij}$ es la matriz de vectores propios de $A$ .

---

Dado que el artículo de 1993 es de pago, reproduzco la página correspondiente:

_{Un breve archivo de Mathematica para probar la fórmula es <a href="https://ilorentz.org/beenakker/MO/unistochastic.nb" rel="noreferrer">aquí.</a>}

---

Adenda: siguiendo la pista señalada por Alan Edelman en el blog de Tao: esto Papel de 1966 por R.C. Thompson, "Submatrices principales de matrices normales y hermitianas" tiene la fórmula deseada en el caso general de matrices normales como Ecuación (15).

donde $\theta_{ij}=|u_{ij}|^2$ cuando todos los valores propios $\mu_\alpha$ de $A$ son distintos (el $\xi_{ij}$ son valores propios de $M_i$ ). Los trabajos más antiguos mencionados en los comentarios no parecen tener una fórmula explícita para $|u_{ij}|^2$ .

Dado que ésta parece ser la primera aparición de la identidad vector/valor propio, podría ser apropiado referirse a ella como "La identidad de Thompson", $^*$ en homenaje al profesor Robert Thompson (1931-1995). Encajaría muy bien con esta cita del obituario:

Entre los muchos servicios que Thompson prestó a la investigación figura su ayuda para disipar de que el álgebra lineal es sencilla y poco interesante. A menudo trabajaba en problemas difíciles y, como nadie, se demostró que la teoría matricial básica está repleta de retos profundamente problemas profundamente desafiantes e intelectualmente atractivos que están muchas partes de las matemáticas.

_{<span class="math-container">$^*$</span> "identidad de Thompson" para distinguirla de <a href="https://mathoverflow.net/questions/218279/finding-u-v-in-thompsons-formula">Fórmula de Thompson</a>}

Answer 2

Quiero añadir a la lista de lugares donde se ha utilizado esta identidad anteriormente.

Para ver uno reciente, consulte arXiv:1710.02181 "Transferencia de estados en grafos fuertemente regulares con una perturbación en las aristas". La ecuación (2) de la sección 2 de este documento es la siguiente \[ \frac { \phi (X \setminus a,t)}{ \phi (X,t)} = \sum_r \frac {(E_r)_{a,a}}{t- \theta_r } \] Si el valor propio $\theta_r$ es simple. $E_r=z_rz_r^T$ y tenemos la fórmula (2.3) en el pdf que aparece en la respuesta de Carlos. La he utilizado en varios lugares en trabajos sobre paseos cuánticos continuos, por ejemplo - Lemma 7.1 y Corolario 7.2 en arXiv:1011.0231 "¿Cuándo puede ocurrir una transferencia de estado perfecta?"

Se utiliza implícitamente en mi artículo con Brendan McKay: " Condiciones espectrales para la reconstruibilidad de un grafo ", JCT B (30), 1981, 285-289.

Nos perdimos la conexión con los neutrinos :-(

Hay un extenso tratamiento en el capítulo 4 de mi libro "Algebraic Combinatorics". Chapman & Hall, Nueva York, 1993.

Identidades relacionadas aparecen en C. A. Coulson y H. C. Longuet-Higgins: "The electronic structure of conjugated systems I. General theory", Proc. Roy. Soc. London A191 (1947), 39-60. Demuestran que si $G$ es un grafo con matriz de adyacencia $A$ y polinomio característico $\phi(G,t)$ y $\phi_{ij}(G)$ es el $ij$ -entrada de $\phi(G,t)(tI-A)^{-1}$ entonces \[ \phi_ {ij}(G,t) = \sum_P \phi (G \setminus P,t) \] (donde la suma es sobre todas las trayectorias $P$ en $G$ de $i$ a $j$ y $G\setminus P$ es $G$ con todos los vértices en $P$ borrado). Además \[ \phi_ {ij}(G,t) = \sqrt { \phi (G \setminus i,t) \phi (G \setminus j,t)- \phi (G,t) \phi (G \setminus {i,j},t)}. \]

La conexión con los vectores propios surge porque si $A=\sum_r \theta_r E_r$ es la descomposición espectral de $A$ entonces \[ \frac { \phi_ {ij}(G, \theta_r )}{ \phi '(G, \theta_r )} = (E_r)_{i,j}. \]

Esencialmente, la identidad relaciona las entradas diagonales de los idempotentes espectrales de las matrices hermitianas con los polinomios característicos de las submatrices principales. Las entradas no diagonales están relacionadas con las funciones de Green, y espero que haya artículos en la literatura física donde aparezcan versiones de la identidad.