¿Por qué las diferencias entre cuadrados consecutivos son iguales a la secuencia de números Impares?

Question

Estuve jugando con los cuadrados y vi un patrón interesante en sus diferencias.

$0^2 = 0$

      + 1

$1^2 = 1$

      + 3

$2^2 = 4$

      + 5

$3^2 = 9$

      + 7

$4^2 = 16$

      + 9

$5^2 = 25$

      + 11

$6^2 = 36$

      etc.

(Además, en una pregunta muy relacionada, ¿con qué revista importante de investigación matemática debo ponerme en contacto para publicar mi innovador hallazgo?)

Answer 1

Dan's La justificación algebraica es correcta, pero se puede intuir más por la imagen anterior. Cada vez que quieras ampliar el cuadrado en una unidad, tendrás que añadir una fila más, una columna más y un cuadrado más para rellenar la esquina. Estos corresponden directamente a los $n+n+1=2n+1$ que mencionó Dan. Y por supuesto, $2n+1$ es como se ven los números de impar.

Mirándolo desde la otra dirección, puedes usar la misma idea para convencerte de la afirmación de Noé de que $1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2$ . Imagina que el lado izquierdo representa la secuencia superior de cuadrados verdes y naranjas. Primero añades 1 ficha, luego 3, luego 5, y así sucesivamente para construir cuadrados cada vez más grandes. En cada paso, añades una fila (n) y una columna (otra n), y luego eliminas esa ficha en la esquina superior derecha donde se solapan (para un total de 2n-1).

Answer 2

Una cosa agradable de notar.

Es básicamente porque

$(n + 1) ^ 2 - n ^ 2 = 2n + 1$

Answer 3

Para ampliar esta idea, hay algo que se me ocurrió en la escuela secundaria (ahora apesto incluso en las matemáticas elementales) ... Estoy seguro de que a alguien se le ocurrió esto mucho antes...

"¡La Nª diferencia entre Nª potencias consecutivas es igual a N!"

for N=2
1  4  9  16  <- Nth powers
  3  5  7     <- 1st Difference
   2  2       <- Nth Difference

for N=3

1  8  27  64  125
 7  19  37  61
  12  18  24
     6   6

for N=4

1  16  81  256  625  1296  2401
 15  65  175  369  671
   50  110  194  302
     60   84   108
       24    24

esto también se puede utilizar para calcular el siguiente número de la serie ej.: 7^4 = 24+108+302+671+1296 = 2401

me gustaría poder recordar la prueba también ... Yikes

por lo que para N=2 la diferencia es de 2, lo que lleva a una secuencia de números Impares

Answer 4

La forma más fácil de pensar en la diferencia entre potencias consecutivas (al cuadrado o lo que sea) es utilizando el teorema del binomio.

Por ejemplo:

$(n+1)^4 - n^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 - n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$ con los coeficientes binomiales encontrados por El método que prefieras.

Esto predice correctamente, por ejemplo $2^4-1^4=15$ .
Y cuando se utiliza en las plazas da $2n+1$ .

Answer 5

No hagas de esto un papel. Esto ha sido hecho a lo largo de los siglos por muchos matemáticos brillantes.

La lectura de Gauss, Newton, Hardy, Littlewood, Ramanujam y tantos otros matemáticos a lo largo de los años le dirá que todo lo que imagina ya se ha hecho.

Hay que leer muchos artículos durante muchos años, entenderlos en profundidad para llegar a nuevas observaciones utilizando esas publicaciones como base.

Pero bueno... no dejes de encontrar cosas por ti mismo. Es bueno hacer este tipo de cosas.

respecto a la diferencia entre cubos consecutivos, me interesa más explicarme por qué $d(x^3)/dx = 3x^2$ mientras que para los números naturales $(n+1)^3 -n^3 = 3n^2 + 3n + 1$ lo único que se me ocurre es

$lim (3n^2 + 3n + 1)$ =~ $3n^2$ como $n^2$ enanos $3n$ . $n\rightarrow \inf$