Supongamos que tenemos dos variedades riemannianas compactas $(M,g)$ y $(N,h)$ . Defina la distancia Gromov-Hausdorff entre ellas de la manera que prefiera, yo utilizaré el mínimo de todas $\epsilon$ de manera que haya $\epsilon$ -Aproximaciones de Gromov-Hausdorff entre $(M,g)$ y $(N,h)$ .
Entonces defina $d(M,N)$ para ser el mínimo de la distancia Gromov-Hausdorff entre $(M,g)$ y $(N,h)$ tomada sobre todas las métricas riemannianas $g$ y $h$ con curvaturas seccionales limitadas en valor absoluto por 1.
Si sabes $d(M,N)$ para varias opciones de $N$ ¿Qué puede concluir sobre $M$ ?
Sé que la teoría de Cheeger-Fukaya-Gromov sobre variedades colapsadas cubre exactamente el caso cuando $d(M,N)=0$ por ejemplo $d(M,pt)=0$ si y sólo si $M$ es casi plana. Me interesan las situaciones en las que estos números no desaparecen. Por ejemplo:
Si $\Sigma$ es una superficie orientable compacta, ¿cómo debería $d(\Sigma,pt)$ depende del género?
Si $S^n$ es la esfera estándar de dimensión $n$ En qué medida las cifras $d(M,S^n)$ determinar $M$ ? ¿Existen colectores $M$ y $N$ para lo cual $d(M,N)\neq 0$ pero $d(M,S^n)=d(N,S^n)$ para todos $n$ ?
¿Existe una $\epsilon$ dependiendo sólo de las dimensiones tales que $d(M,N)<\epsilon$ implica $d(M,N)=0$ ?
Si alguien puede indicarme una referencia/papel sería muy apreciado.
