¿Cuál es la interpretación geométrica general de los módulos en geometría algebraica?

Question

La geometría algebraica es bastante nueva para mí, así que esta pregunta puede ser demasiado ingenua. Por lo tanto, también estaré feliz de recibir respuestas que expliquen por qué esta es una mala pregunta.

Entiendo que la filosofía básica comienza considerando un anillo conmutativo abstracto como un espacio de funciones de cierto objeto "geométrico" (el espectro del anillo). También entiendo que al menos ciertos tipos de módulos corresponden a construcciones geométricas bien conocidas. Por ejemplo, los módulos proyectivos deben ser pensados como fibrados vectoriales sobre el espectro (y que existen afirmaciones formales como el teorema de Serre-Swan que hacen esta correspondencia precisa en ciertas categorías). Mi pregunta es, ¿cuál es el contraparte geométrico general de los módulos?

Esta no es una pregunta matemática formal, y no estoy buscando el concepto formal de teoría de esquemas (de haces de cierto tipo, etc.), sino la imagen geométrica que debo tener en mente al trabajar con módulos.

Apreciaré cualquier tipo de información o incluso solo un ejemplo particularmente esclarecedor.

Answer 1

A grosso modo, un módulo puede entenderse como un fibrado vectorial en el espectro, donde la dimensión de las fibras puede variar. Permíteme dar algunos ejemplos y datos:

• Un módulo libre corresponde a fibrados vectoriales trivales, o más generalmente los módulos proyectivos corresponden a fibrados vectoriales como ya mencionaste.

• Sea $R$ el anillo de coordenadas de una variedad y $I$ un radical. Entonces el módulo $R/I$ de $R$ corresponde a adjuntar un espacio vectorial unidimensional en cada punto de $Z(I)$ y el espacio vectorial cero en todas partes. Por ejemplo, $R=k[x,y]$ e $I=(x,y)$ da lugar al fibrado de rascacielos en el origen. $I=(x)$ da lugar al fibrado unidimensional trivial en el eje y, etc. Si tu Ideal no es radical, la situación es ligeramente más complicada. $R/I$ puede entenderse como el fibrado trivial en un entorno infinitesimal de $Z(I)$.

• Otro buen ejemplo es una explicación geométrica de por qué el producto tensorial $\mathbb Z/p \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z/q$ para $p,q$ sin divisor común se anula. Nuestro espacio $spec(\mathbb Z)$ consiste de un punto para cada primo (y un punto genérico). Ahora, con la intuición anterior en mente, nuestros dos módulos son geométricamente solo espacios vectoriales unidimensionales adjuntos a entornos infinitesimales de los divisores primos de $p,q$. Dado que $p$ y $q$ no tienen un divisor común, no hay punto donde ambos $\mathbb Z/p$ y $\mathbb Z/q$ tengan una fibra distinta de cero. Al igual que con los fibrados vectoriales, el producto tensorial de módulos puede entenderse geométricamente como el producto tensorial punto a punto (la imagen inversa $i^*$ conmuta con $\otimes$). Pero por supuesto, el producto tensorial punto a punto se anula porque no hay puntos donde ambos módulos tengan fibras distintas de cero, por lo tanto $\mathbb Z/p \otimes \mathbb Z/q=0$.

• Finalmente, cualquier módulo finitamente generado (o más generalmente una gavilla coherente en un esquema noetheriano) está construido a partir de fibrados vectoriales en subespacios de la siguiente manera: Existe una estratificación de $spec(R)$ tal que el módulo retrocedido a las estratificaciones es un fibrado vectorial. Esto se desprende de Hartshorne Ex II.5.8.

Answer 2

Como dices, los módulos proyectivos corresponden de una manera altamente moral a los paquetes vectoriales. Los paquetes retroceden pero no avanzan, en términos topologistas. Este podría ser un buen punto desde el cual comenzar. Por otro lado, las haces avanzan fácilmente. No se obtiene algo por nada (bueno, he conocido a matemáticos que argumentan que puedes hacer eso con elegancia...) y por lo tanto hay un "déficit de imagen": puedes pensar en el retroceso de un paquete de fibras fácilmente en términos de las fibras que ya tenías siendo adjuntas a puntos de imagen inversa. No tienes el mismo acceso fácil al avance del haz de secciones de un paquete.

Siguiendo esta línea de pensamiento, la geometría algebraica practicada desde el FAC de Serre está llena de avances de haces que comienzan siendo localmente libres. No terminan siendo localmente libres - realmente no pueden porque no puedes hacer eso exitosamente solo con paquetes vectoriales. Esto se parece más a una justificación de Grothendieck de lo que las generalidad de los haces cuasicohertes están haciendo en la teoría.

Históricamente parece que el concepto de módulo evolucionó porque la "teoría de ideales", como una vez se llamaba a la álgebra conmutativa, necesitaba ejemplos que fueran menos rígidos que los ideales de un anillo.

Answer 3

Estas observaciones algo ingenuas están motivadas por el deseo de reflexionar sobre la cuestión por mí mismo.

Las secciones de haces son ejemplos naturales de módulos (localmente) libres y los ejemplos estándar son los haces tangente y cotangente de variedades suaves. La necesidad de módulos más generales es el hecho de que los núcleos y cocúpulas de aplicaciones de módulos (localmente) libres no necesariamente lo son. Además de los haces ideales de subvariedades, como se señaló anteriormente, los diferenciales de Kahler son un ejemplo estándar de haces no necesariamente localmente libres.

Estas dos observaciones están conectadas por la secuencia exacta estándar de un subesquema cerrado, que muestra el haz de diferenciales de Kahler de una intersección completa local, como la cocúpula de una aplicación de haces localmente libres. Es decir, los diferenciales de Kahler en una subvariedad cerrada de una variedad suave son el cociente de los diferenciales de Kahler en la variedad ambiente por el haz conormal de la subvariedad.

Así, los ejemplos estándar de módulos son ideales de subvariedades y diferenciales de Kahler, y al menos para las subvariedades lci, estos surgen como núcleos o cocúpulas de aplicaciones de haces. Por lo tanto, geométricamente se podría decir que se quiere considerar diferenciales y subesquemas, y algebraicamente se quiere poder tomar núcleos y cocúpulas.

Answer 4

Aquí hay un ejemplo (con suerte) esclarecedor. Deje que $X$ sea una variedad irreducible sobre un campo perfecto, y considere su haz de diferenciales de Kähler $\Omega_X$. Si $X$ es suave, entonces $\Omega_X$ es localmente libre, y corresponde al haz tangente cotangente. Si $X$ no es suave, entonces la noción de "haz tangente cotangente" no tiene realmente sentido, pero el haz $\Omega_X$ funciona como una especie de sustituto:
-El subconjunto abierto de $X$ en el que $\Omega_X$ es localmente libre consiste precisamente en el conjunto de puntos en los que $X$ es suave.
-Si $x \in X$ es un punto con cuerpo de residuos $\Bbbk(x)$, entonces cualquier definición razonable del espacio cotangente en $x$ resultará ser equivalente a $\Omega_{X,x} \otimes \Bbbk(x)$. Los puntos singulares de $X$ son precisamente aquellos puntos en los que la dimensión del espacio cotangente es "demasiado grande."

Answer 5

Eche un vistazo a la definición de haz de Serre [FAC], es decir, a través de espacios étale. Esto proporciona una imagen geométrica de un haz. Sobre cada punto de nuestro espacio topológico $X$, se encuentra la fibra del haz. Por supuesto, imponemos algunas condiciones de compatibilidad en estas fibras, es decir, que varíen continuamente. Los topólogos llaman a esto un paquete en $X$. Ahora, si $X$ tiene alguna estructura adicional, es razonable estudiar los paquetes con alguna estructura adicional apropiada. Es decir, si $X$ es un espacio anillado, entonces las fibras deberían ser módulos. Los haces correspondientes se llaman haces de módulos. Si $X$ es un esquema, entonces nos restringimos a haces cuasi-coherentes para involucrar los gráficos locales afines. En cada caso, obtienes un tipo especial de un paquete sobre $X.

De la misma manera en que la estructura de un anillo $A$ puede ser estudiada mediante módulos sobre $A$, la estructura de un esquema $X$ puede ser estudiada mediante haces cuasi-coherentes en $X$. En realidad, el Teorema de Reconstrucción de Rosenberg justifica esto. Incluso en el caso afín, esto ayuda a aclarar algunos conceptos de teoría de módulos. Un ejemplo es el soporte de un módulo.