¿Existe una variedad lisa (de dimensión finita) $M$ , tal que toda métrica riemanniana sobre $M$ no tiene isometrías excepto la identidad?
Por supuesto, una variedad de este tipo no debe admitir un difeomorfismo de orden finito.
Dado que una superficie $S$ admite un difeomorfismo de orden $n$ si su grupo de clases de mapeo (MCP) tiene un elemento de orden $n$ (ver aquí ), se deduce que si $S$ tiene la propiedad anterior, entonces su MCP sólo tiene elementos de orden infinito.
La respuesta a la pregunta de la primera frase es "sí". Dejemos que $M$ sea un manifold hiperbólico de 3 dimensiones cuyo grupo de isometría es trivial. Entonces, por el Teorema 1.1 de
Farb, Benson; Weinberger, Shmuel Hidden symmetries and arithmetic manifolds. Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, 111-119, Contemp. Math., 387, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005. (Revisor: Bachir Bekka) 53C35 (53C23)
(que atribuyen a Borel, aunque no dan una referencia original para ello), el grupo de isometría de toda métrica riemanniana sobre $M$ es isomorfo a un subgrupo del grupo de isometría hiperbólica, y por tanto es trivial.
En una línea similar, podría interesarle el Teorema H de
Dinkelbach, Jonathan y Leeb, Bernhard, Flujo de Ricci equivariante con cirugía y aplicaciones a las acciones de grupos finitos en 3manifolds geométricos. Geom. Topol. 13 (2009), no. 2, 1129-1173.
Dice que todo difeomorfismo de orden finito de una 3manifold hiperbólica cerrada es suavemente conjugado a una isometría, por lo que las 3manifolds hiperbólicas cerradas con grupos de isometría triviales dan ejemplos de variedades suaves con grupos de difeomorfismo sin torsión.
Me falta el otro sentido de la equivalencia. Parece que se necesita un argumento para demostrar que una isometría es necesariamente de orden finito... ¿O es obvio?
@HJRW: ¡Uy, tienes razón! Por ejemplo, los toros planos tienen isometrías de orden infinito. Sin embargo, utilizando un poco más de tecnología se puede demostrar que mis ejemplos siguen funcionando. Editaré la respuesta en consecuencia.
@HJRW: El grupo de isometría de una variedad riemanniana compacta es un grupo de Lie compacto. Un grupo de Lie compacto es finito o contiene una copia de $U(1)$ . Este último contiene subgrupos finitos $Z/nZ$ por cada $n$ . Así pues, el grupo de isometría de una variedad riemanniana compacta es trivial o contiene elementos de orden finito no triviales.
El artículo de estudio "Do manifolds have little symmetry?", de Volker Puppe, enumera varios resultados conocidos sobre las variedades sin acción de grupo finito no trivial. El enlace ArXiv es http://arxiv.org/pdf/math/0606714v1.pdf
En particular
no tienen acción de grupo finito (Borel)
Los ejemplos son
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Las variedades sin acciones efectivas de grupos de Lie se denominan asimétricas. Hay muchos ejemplos, véase kops.uni-konstanz.de/bitstream/handle/123456789/6288/ .