Permutaciones de $(Z/pZ)^*$

Question

Deje $p$ ser una de las primeras entero, y deje $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ el conjunto de no-cero elementos de $\mathbb Z/p \mathbb Z$. Denotar por $S((\mathbb Z/p \mathbb Z)^*)$ el grupo de permutaciones de $(\mathbb Z/p \mathbb Z)^*$.

Decir que un mapa de $a:(\mathbb Z/p \mathbb Z)^*\to S((\mathbb Z/p \mathbb Z)^*)$ satisface la condición (A) si, para cualquier par de elementos distintos $i,j\in (\mathbb Z/p \mathbb Z)^*$, $a(i)-a(j)\in S((\mathbb Z/p \mathbb Z)^*)$.

Por ejemplo, supongamos $a(i)(k) = ik.$ Esto satisface la condición (a). Lo mismo es cierto si nos permutar las funciones de $a'(i) = a(c(i))$ o de re-etiquetar los objetos $a''(i)(k) = i \cdot b(k)$, o ambos. Son estas modificaciones de $a(i)(k) = ik$ la única manera de conseguir un mapa de satisfacer la condición (a)?

Si $a$ satisface (A), hay $b,c\in S((\mathbb Z/p \mathbb Z)^*)$ tal que, para todos los $i\in (\mathbb Z/p \mathbb Z)^*$ y todos los $k\in (\mathbb Z/p \mathbb Z)^*$, $a(i)(k)=c(i)\cdot b(k)$, el punto es la multiplicación en $\mathbb Z/p \mathbb Z$?

Nota: probablemente sería suficiente para demostrar que, si $a$ satisface (A), entonces, para todos $i,j,l\in (\mathbb Z/p \mathbb Z)^*$, $a(i)a(l)^{-1}a(j)=a(j)a(l)^{-1}a(i)$. O en términos más simples, si $a(1)$ es la identidad (uno puede reduce a este caso), entonces el $a(i)$ viaje.

edit he corregido la pregunta (y el párrafo antes de que, gracias a los comentarios de François Brunault y Víctor Protsak, quien señaló que la formulación original era incorrecta debido a un irrelevante $b^{-1}$.

Answer 1

Un concepto similar es un orthomorphism de un grupo de $G$. Este es un automorphism $\theta: G \rightarrow G$ con la propiedad de que $g^{-1}\theta(g)$ es un bijection (equivalentemente, un automorphism). Dos orthomorphisms $\theta$, $\eta$ son ortogonales si $\theta^{-1} \eta$ es un orthomorphism.

Un conjunto de $k$ ortogonal orthomorphisms corresponden a un conjunto de $k$ mutuamente ortogonales cuadrados latinos con las simetrías. En particular, los ejemplos que se dan de arriba son el prototipo de los ejemplos de ortogonal orthomorphisms, y se dan un conjunto de $p-1$ MOLES de orden $p$. A partir de ellos se pueden construir fácilmente el (desarguesian) plano proyectivo de orden $p$.

A mí me parece que su pregunta se relaja la condición de que el orthomorphisms ser automorfismos de $G$: simplemente quieres funciones. La relación mutuamente ortogonales cuadrados latinos todavía debe sostener sin embargo. Así que básicamente está buscando un no-desarguesian plano proyectivo de orden $p$. Que yo sepa este problema está abierta, aunque no se sabe que existe. (Y la gente ha mirado.)

No desguesian proyectiva planos existen en el prime poder órdenes -, así que supongo que habrá no equivalentes conjuntos de funciones con las propiedades que deseo allí.