Preguntas simples/naturales en teoría de grupos cuyas respuestas dependen de la teoría de conjuntos

Question

Toma estas dos preguntas:

1. "Objetos dados $X$ ¿hay siempre un grupo $(X, e, *)$ con esos objetos?" (Respuesta: sí si el axioma de elección).
2. "Tome un grupo $G$ su grupo de automorfismo ${\rm Aut}(G)$ el grupo de automorfismo de ese ${\rm Aut}({\rm Aut}(G))$ , ${\rm Aut}({\rm Aut}({\rm Aut}(G)))$ etc.: ¿termina esta torre de automorfismo (cuenta como terminada cuando los grupos sucesivos son iso)?" (Respuesta, Hamkins: Sí, pero el mismo grupo puede dar lugar a torres con alturas muy distintas en universos teóricos de conjuntos diferentes).

Ahora, estos dos preguntas debería ser fácilmente comprendido por un estudiante que acaba de conocer una pequeña cantidad de teoría de grupos en un curso introductorio, aunque su respuestas dependen de ideas de teoría de conjuntos que van mucho más allá de lo que aparece en su texto introductorio (por ejemplo, el texto de primer año de Alan Beardon en Cambridge Álgebra y Geometría ). La cuestión que se plantea:

¿Qué otras preguntas de la teoría de grupos hay que también le parezcan sencillas y naturales a un estudiante casi principiante, y que también impliquen cantidades más o menos significativas de teoría de conjuntos en sus respuestas?

Answer 1

Uno de mis resultados favoritos, me lo contó mi asesor una vez tomando un café.

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano. Decimos que tiene una norma si existe una función $\nu\colon G\to\Bbb R$ cuyo comportamiento es el que se espera de la "norma".

Digamos que una norma es discreta si su rango en $\Bbb R$ es un conjunto discreto.

Ejercicio. Si $G$ es un grupo libre-abeliano, entonces tiene una norma discreta.

Teorema difícil. Si $G$ tiene una norma discreta, entonces es libre-abeliana.

La única prueba conocida utiliza el teorema de compacidad de Shelah para cardinales singulares. Por lo tanto, se trata de una maquinaria pesada de la teoría de conjuntos y de la teoría de modelos combinada.

Answer 2

Convirtiendo mi comentario en una respuesta. Dado un grupo $G$ podemos definir su grupo dual $G^\ast=\mathrm{Hom}(G,\Bbb Z)$ y, al igual que para los espacios vectoriales, obtenemos un homomorfismo de "evaluación" canónico $G\to G^{\ast\ast}$ dado por $g\mapsto(f\mapsto f(g))$ y llamamos reflexivos a los grupos para los que este homomorfismo es un isomorfismo.

Teorema: Todo grupo abeliano libre es reflexivo si no existe un cardinal medible.

Voy a probar el $\implies$ dirección, la otra no es tan fácil. Dejemos que $\kappa$ sea medible, y que $\mathcal U$ a $\kappa$ -completar el ultrafiltro no principal en $\kappa$ .
Consideremos el grupo abeliano libre $\Bbb Z^{(\kappa)}=\bigoplus_{i<\kappa}\Bbb Z$ con su base estándar $\{e_\xi\}_{\xi<\kappa}$ y nota que $\mathrm{Hom}(\Bbb Z^{(\kappa)},\Bbb Z)\simeq\Bbb Z^\kappa$ .
Considere la función $\varphi\colon\Bbb Z^\kappa\to\Bbb Z$ dado por $\varphi(x)=n$ si $\{\xi\in\kappa\mid x(\xi)=n\}\in \mathcal U$ afirmamos que esta función no está en la imagen del homomorfismo canónico $j\colon\Bbb Z^{(\kappa)}\to(\Bbb Z^{(\kappa)})^{\ast\ast}\simeq (\Bbb Z^\kappa)^\ast$ En efecto, para todo caso no nulo $x\in\Bbb Z^{(\kappa)}$ tenemos $j(x)(e_\xi)=x(\xi)\neq 0$ para algunos $\xi$ pero $\varphi(e_\xi)=0$ por cada $\xi$ . (en la identificación $(\Bbb Z^{(\kappa)})^\ast\simeq \Bbb Z^k$ , $e_\xi$ corresponde a la proyección $\Bbb Z^\kappa\to\Bbb Z$ en el $\xi$ -ésimo factor).

Una referencia para la demostración de la otra dirección (en realidad de un resultado mucho más general que implica trivialmente la otra dirección) es el Corolario III.3.8 en el hermoso libro "Almost free modules: set theoretic methods", de Eklof y Mekler.

Answer 3

Ahí está el problema de Whitehead : let $A$ sea un grupo abeliano tal que cualquier extensión $0\to \mathbb Z\to K\to A\to 0$ (con $K$ abeliana) se divide.

Es $A$ entonces necesariamente un grupo abeliano libre ?

La pregunta es famosamente independiente de ZFC, por lo que depende de la teoría de conjuntos.