separados de los esquemas de

Question

He aquí un peligroso pregunta: Todos sabemos que una variedad es un esquema integral, separados y finito de tipo más de un algebraicamente cerrado de campo. Ahora, si me quito el apartado de hipótesis, tengo la clase de los esquemas, que son hechas por el encolado de juntas (un número finito) clásica afín variedades y la aplicación de la famosa totalmente fieles functor $Var_k \longrightarrow Schemes_k$. Por lo tanto, separatedness debe relacionarse de alguna manera a la "manera de pegar" juntos, estos afín variedades, (lo cual es confirmado cuando se mira en el súper-clásico ejemplo de la doble línea). Hay alguien aquí que pueda explicar de qué modo de encolado nos prohibición cuando la restricción para separarse de los esquemas ?

Answer 1

La condición necesaria y suficiente en los esquemas de $\{U_i\}$ y pegado isomorphisms $\varphi_{ij}:U_{ij} \simeq U_{ji}$ entre los abre $U_{ij} \subset U_i$ ($i, j \in I$) que el encolado $X$ estar separados es que el gráfico de mapa de $U_{ij} \rightarrow U_i \times U_j$ definido por $u \mapsto (u, \varphi_{ij}(u))$ es un cerrado de inmersión (o, equivalentemente, ha cerrado la imagen) para todos los $i, j$. Esto es visto por la intersección de $\Delta(X)$ con la abre $U_i \times U_j$ que cubren $X \times X$.

(Teniendo en $i=j$, esto nos dice que todos los $U_i$ están separados, que es automático cuando todos los $U_i$ son afines; en tales casos, el cerrado de la inmersión de la condición de las fuerzas de todos los $U_{ij}$ a también ser afín, por lo que en el contexto de la pregunta uno no pierde nada al exigir que todos los $U_{ij}$ ser afín a abrir, antes de exponer el cerrado de la inmersión de la condición.)

Answer 2

Básicamente es el tipo de encolado que viole la (discreto) valuative criterio para separatedness. Véase el Capítulo II, Sección IV de Hartshorne, por ejemplo.

Por ejemplo, si usted está encolado $U$ a $V$ (es decir separados noetherian esquemas) a lo largo de un común abierto subscheme $W$, si desea que el resultado de ser separados, que presumiblemente quiere exigir que:

Para cada especificación de un DVR, $Z =$ { genérico Pt, cerrado Pt } con un mapa de $Z \to U$ de manera tal que, el genérico punto de $Z$ es enviado a $W$, entonces el punto de cierre de $Z$ es también enviado a $W$ así cada vez que el mapa {genérico Pt} $\to W$ se extiende a un mapa de $Z \to V$.