La continuación de la fracción $$[1;1,2,3,4,5,\dots]=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cdots}}, $$ for instance, is known explicitly as a ratio of Bessel function values and is (I believe - SS) known to be transcendental. Similarly, $[1,2,2^2,2^3,2^4,2^5,\puntos] $ is surely transcendental (and likely related to Liouville numbers). Are there any explicitly known algebraic numbers with unbounded continued fraction coefficients? (Of course, such a number must have degree greater than $2$, por todos los teoremas sobre la continuación de la fracción representaciones de cuadráticas.) Las eventuales referencias que sería muy apreciada.
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Como usted indica, real algebraica de los números de grado $\leq 2$ tienen esta propiedad en vista de Lagrange clásica del resultado de la caracterización por la eventual periodicicty de las fracciones continuas de expansión. Puede ser útil saber (si no ya) que $\alpha \in \mathbb{R}$ tener delimitada fracciones continuas coeficientes es equivalente a la nitidez de Dirichlet del teorema de aproximación: $|\alpha - p/q| > cq^{-2}$ para todos, pero un número finito de $p/q \in \mathbb{Q}$.
Para números algebraicos esto significa que el exponente $2+\varepsilon$ en Roth teorema puede ser reducido a $2$. Para cuadrática irracionalidades esto es con el uniforme constante $c = 1/\sqrt{5} - \epsilon$; google "Lagrange espectro." Por lo que yo sé es generalizada la opinión de que esto no puede suceder por cualquier número algebraico de grado $> 2$, a pesar de Serge Lang ha sugerido que una leve mejora en Roth teorema, el cual $q^{2+\varepsilon}$ se sustituye con $(q\log{q})^2$, es siempre posible. (Este es abierta; hay un análogo de declaración verdad en la teoría de Nevanlinna). Ciertamente no hay número algebraico de grado $> 2$ es conocido por haber ilimitado parcial de las fracciones de los coeficientes, pero que es peor, no parece ser siquiera sabe que existe un número algebraico tener esta propiedad.
Una referencia de donde esta aparece de forma explícita en la impresión es p. 366 de Hindry y Silverman del Diophantine Geometría: Una Introducción.
Añadido. También hay un lugar interesante variante de esta pregunta para $\mathbb{Z}[i]$-fracciones continuas expansiones de los complejos de los números algebraicos.
Como es típico en diophantine análisis, tanto del teorema de Roth y la continuación de las fracciones algoritmo de extender a la relativa sobre la creación de campos de número distinto de $\mathbb{Q}$; y en gran medida, también lo hace la relación entre los dos. Para ser concretos, considere la posibilidad de aproximaciones racionales sobre el Gaussiano campo $\mathbb{Q}(i)$. La relativa teorema de Roth sobre $\mathbb{Q}(i)$ estados: Si $\alpha \in \mathbb{C}$ es algebraica, a continuación, para cada $\varepsilon > 0$ hay sólo un número finito de pares $p,q \in \mathbb{Z}[i]$ en el Gaussiano entramado de satisfacciones $|\alpha - p/q| < |q|^{-2-\varepsilon}$. [Para la declaración general sobre cualquier campo de número de ver Thm. 6.2.3 de Bombieri y Gubler de Alturas en Diophantine Geometría.]
Asimismo, Hurwitz se ha fijado un número complejo canónica de fracciones continuas de expansión con las entradas en $\mathbb{Z}[i]$, utilizando el mismo algoritmo sobre $\mathbb{Q}$, pero con el más cercano de redondeo a la Gaussiana de celosía $\mathbb{Z}[i]$ (mientras que más de $\mathbb{Q}$ convencional opción de redondeo consiste en el piso de la función$\lfloor \cdot \rfloor$, en lugar del más cercano de redondeo a $\mathbb{Z}$). La tricotomía "racional-cuadrática-grado superior" parece extenderse a la relación sobre la creación de este (o cualquier otro) campo de número de $\mathbb{Q}(i)$: el $\alpha \in \mathbb{C}$ con terminación de expansión por supuesto son precisamente los números en $\mathbb{Q}(i)$, y Hurwitz ha demostrado que su expansión finalmente es periódica si y sólo si $[\mathbb{Q}(\alpha,i):\mathbb{Q}(i)] \leq 2$.
Podemos preguntar, entonces, las mismas preguntas para Hurwitz del complejo de fracciones continuas. En lugar de sorprendentemente baratos, no son números algebraicos cuyas $\mathbb{Z}[i]$-fracciones continuas de expansión se ha acotado los coeficientes, y cuyo grado relativo de más de $\mathbb{Q}(i)$ es $> 2$! Uno de esos números, debido a la D. Hensley [1, Ch. 5] en 2006, se $\sqrt{2} + i\sqrt{5}$, de grado relativo de cuatro. De manera más general, W. Bosma y D. Gruenewald [3] han demostrado que un número complejo tiene esta propiedad si el cuadrado de su módulo es un racional entero que es no una norma de $\mathbb{Z}[i]$; algebraicas tales ejemplos lo incluyen $\sqrt[m]{2} + i\sqrt{n - \sqrt[m]{4}}$ para todos los $n \equiv 3 \mod{4}$ e $m$.
(Por otro lado, a mi conocimiento, ningún particular algebraica de números ha sido demostrado tener unbounded coeficientes en su Hurwitz $\mathbb{Z}[i]$-fracciones continuas de expansión.)
Pero ahora hay algo aún más curioso acerca de la implicación de tales ejemplos del teorema de Roth sobre $\mathbb{Q}(i)$ (diophantine aproximaciones de Gauss números). Me doy cuenta de que esto sólo ahora, después de buscar Hensley muy interesante el artículo [2] (desde 2006), y me pregunto por qué este punto no está planteado en la literatura sobre el complejo de fracciones continuas.
Mientras que el convergents $p_n/q_n \in \mathbb{Q}(i)$ en Hurwitz la expansión ya no se escape todo bien $\mathbb{Q}(i)$-aproximaciones racionales a $\alpha \in \mathbb{C}$ (como en el caso de más de $\mathbb{Q}$), Teorema 1 en [2] se muestra que hasta un multiplicativo constante, que todavía dar el mejor $\mathbb{Q}(i)$-aproximaciones racionales. Como resultado, para los números (algebraicas de forma arbitraria alto grado relativo de más de $\mathbb{Q}(i)$), el exponente $2+\varepsilon$ en Roth teorema de rel. $\mathbb{Q}(i)$ (indicado arriba) puede ser reducido a $2$, y esto es además eficaz:
Consecuencia: Si $\alpha \in \mathbb{C}$ ha $|\alpha|^2 \in \mathbb{Q}$ un número racional no es una norma de $\mathbb{Q}(i)$ [por ejemplo, el rel. grado-cuatro algebraicas ejemplo,$\sqrt{2} + i\sqrt{5}$], entonces existe una efectiva $c(\alpha) > 0$ tal que $|\alpha - \beta| > cH(\beta)^{-2}$ para todos los $\beta \in \mathbb{Q}(i)$. (Aquí, $H(\cdot)$ es la absoluta multiplicativo de altura en $\bar{\mathbb{Q}}$; para la racional o imaginario cuadrática enteros $n$, que coincide con $|n|$)
Considere ahora Khintchine del principio según el cual un número algebraico de grado $> 2$ debe ser genérico. Como casi todos los complejos de número de $x \in \mathbb{C}$ tiene infinidad de $\mathbb{Q}(i)$-racional approximants $\beta \in \mathbb{Q}(i)$ con $|x - \beta| < 1/(H(\beta)^2\log{H(\beta)})$, los números de $\alpha$ de la forma de arriba no son genéricos en este sentido. Ya que contienen números algebraicos de alto de manera arbitraria (aunque necesariamente) rel. grado por encima del $\mathbb{Q}(i)$, Khintchine del principio parecerá que fallan en el ajuste relativo de más de $\mathbb{Q}(i)$!
Sin embargo, creo que la historia es más interesante, como los ejemplos anteriores todavía se asemejan cuadrática irracionalidades en un vago sentido. Tal vez, en el ajuste relativo de diophantine aproximaciones sobre un campo de número de $K$, podríamos salvar Khintchine del principio y por encima de la tricotomía, mediante la ampliación de la clase especial de números algebraicos -- que a priori contener todos los números de rel. grado $\leq 2$ sobre $K$.
Me permite grabar un par de
Problemas. Los números de grado $\leq 2$ sobre $\mathbb{Q}(i)$ (cuyo Hurwitz expansiones son finalmente periódico) y los números algebraicos mencionado en el "Consecuencia" (cuyo Hurwitz expansiones son aperiódicos sin embargo, se han delimitado los coeficientes) de escape de todos los números algebraicos para que el exponente $2+\varepsilon$ en Roth teorema de rel $\mathbb{Q}(i)$ puede ser reducido a $2$? Esperamos que todos los números algebraicos no de esta forma debe satisfacer Khintchine del principio rel $\mathbb{Q}(i)$? ¿Qué son especiales los números algebraicos en diophantine aproximaciones rel general de un determinado campo de número de $K$? Finalmente, el mismo problema puede ser considerado acerca de $p$-ádico (y $S$-adic) $K$-aproximaciones racionales a los números algebraicos; yo no sé si esto se ha hecho aún para $K = \mathbb{Q}$.
Referencias:
[1] D. Hensley: Fracciones Continuas (Científicas De Todo El Mundo, Singapur, 2006).
[2] D. Hensley: El Hurwitz complejo continuó fracción (2006): http://mosaic.math.tamu.edu/~dhensley/SanAntonioShort.pdf
[3] W. Bosma, D. Gruenewald: números Complejos con delimitada parcial de cocientes, J. Aust. De matemáticas. Soc., vol. 93 (2012), pp 9--20.
wen
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26
Mi encuesta en papel, los números Reales con delimitada parcial de cocientes, se discute esta cuestión un poco. Es en L'Enseignement de Matemáticas. 38 (1992), 151-187. En particular, parece que la primera persona que suba el ilimitado parcial de la cocientes de un número algebraico de grado > 2 fue quizás Khintchine en 1949. Algunos de los débiles resultados en el crecimiento de los parciales de los cocientes de números algebraicos se resumen en la sección 4 de mi encuesta.
MobileCushion
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217
Tengo un pensamiento en esto. Pero se necesitaría un poco de trabajo a llevar a cabo.
(*) Perron (Die Lehre von den Ketterbrüchen) en el Cap. 11 evalúa ciertas fracciones continuas con el polinomio de entradas en términos de funciones hipergeométricas.
(**) Existe un algoritmo para determinar cuándo una función hipergeométrica es una expresión algebraica de la función.
Tal vez estos pueden ser combinados para obtener un ejemplo de una expresión algebraica número con el polinomio (y por lo tanto no acotada) denominadores.
añadido: Ejemplos de estas dos partes...
(*) El Perron método evalúa el (no simple) la continuación de la fracción $$ b_0+\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2}+\ddots}\qquad\text{con}\qquad a_n=18n^2-33n, b_n=3n-2 $$ como $$ \frac{-\frac{9}{2}}{{}_2F_1\left(-\frac{5}{6},1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right)} $$ Aquí, $a_n$ e $b_n$ son polinomios en $n$ que es lo que quiero decir por "polinomio" entradas anteriores.
(**) Inesperadamente, $$ {}_2F_1\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{2}{3};z\right) $$ es una expresión algebraica de la función de $z$, ver ENLACE
Así, la (algo remoto) esperanza sería que un caso de la continuación de la fracción con $a_n=1$ evalúa a algo en términos de funciones hipergeométricas en la lista de conocidos algebraica de los casos.
