Realización de grupos como automorphism grupos de gráficos.

Question

Frucht demostraron que cada grupo finito es el automorphism grupo de un número finito de gráfico. El papel está aquí.
El argumento, básicamente, es que un grupo es la automorphism grupo de su (de color) de Cayley gráfico y que los colores de la arista en el grafo de Cayley puede ser codificado en un incoloro gráfico que tiene el mismo automorphism grupo.

Este argumento parece llevar a la countably caso infinito.
¿Alguien sabe una referencia para esto?

En el inmensurable, es cierto que cada grupo es el automorphism grupo de una gráfica? (Referencia?) Parece que uno tiene para el código de los números ordinales en rígidos gráficos para el código de la una cantidad no numerable de colores del grafo de Cayley.

Answer 1

De acuerdo a la página de la wikipedia, cada grupo es de hecho el automorphism grupo de unos gráfica. Esto ha sido demostrado de forma independiente en

de Groot, J. (1959), los Grupos representados por homeomorphism grupos, Mathematische Annalen 138

y

Sabidussi, Gert (1960), los Gráficos, con infinita grupo, Monatshefte für Mathematik 64: 64-67.

Answer 2

En la configuración topológica o si desea relacionar el tamaño de la gráfica para el tamaño del grupo, hay dos resultados relevantes:

(1) Cualquier subgrupo cerrado de $S_\infty$, es decir, del grupo de todos (no sólo finitary) permutaciones de $\mathbb N$, es topológicamente isomorfo a la automorphism grupo de contables gráfico.

(2) El resumen del grupo de aumentar homeomorphisms de $\mathbb R$, ${\rm Homeo}_+(\mathbb R)$, no tiene no trivial acciones en un conjunto de tamaño $<2^{\aleph_0}$. Así, en particular, no puede ser representado como la automorphism grupo de un gráfico con menos de continuum muchos vértices.