q-catalán números de Grassmannians

Question

En esta pregunta por $q$-catalán números me refiero a la $q$-analógico dado por la fórmula $\frac{1}{[n+1]_q}\left[{2n\atop n}\right]_q$. El polinomio $\left[{2n\atop n}\right]_q$ representa la clase de la Grassmannian $G(n,2n)$ en el anillo de Grothendieck de variedades, y $[n+1]$ representa la clase de $\mathbb P^n$. Hay un geométrica de razón por la fracción $[G(n,2n)]/[\mathbb P^n]$ es un polinomio en $[\mathbb A^1]$?

Supongo que uno podría pedir más general acerca de por qué la $\frac{[\mathbb P^r][G(k,2k+r)]}{[\mathbb P^k]}$ es un polinomio.

Answer 1

Hay un agradable algunas respuestas a preguntas relacionadas. Por desgracia, ninguno de ellos bastante responde a la pregunta que usted me hizo.

1. El $q$-catalán número $\frac{1}{[n+1]_q}{ 2n \brack n}_q$ es la de Hilbert de la serie de una forma bastante natural, gradual representación del grupo simétrico $S_n$ procedente de una representación irreducible de una racional Cherednik álgebra. Este fue demostrado por Berest-Etingof-Ginzburg y muy generalizada por Gordon-Griffeth:

http://arxiv.org/abs/0912.1578

2. Definir el "otro" $q$-catalán número como la suma de $q^{|D|}$ donde $D$ rangos de "Dyck caminos" de $(0,0)$ a $(n,n)$ manteniéndose levemente por encima de la diagonal, y donde $\binom{n}{2}-|D|$ es el número de unidad de cuadrados entre $D$ y la diagonal. Gorsky-Mazin demostrado que este otro $q$-catalán número de evaluados en $t^2$ es la de Poincaré de la serie de la "Jacobi factor" en el plano de la curva de singularidad $x^n=y^{n+1}$:

http://arxiv.org/abs/1105.1151

3. Toda la historia se generaliza a la "racional $(q,t)$-catalán números" $\mathrm{Cat}_{a,b}(q,t)$ donde $a,b$ son positivas coprime enteros. El $q$-catalán que usted ha mencionado proviene de la fórmula $$q^{(a-1)(b-1)/2}\mathrm{Cat}_{a,b}(q,q^{-1})=\frac{1}{[a+b]_q}{ a+b \brack a}_q$$ by setting $(a,b)=(n,n+1)$ and the "other" $p$-Catalan number comes from setting $t=1$. The rational $(q,t)$-catalán números están relacionados con muchas cosas, incluyendo la HOMFLY-PT polinomio de toro nudos.

Vea aquí algunas de las exposiciones:

http://www.math.miami.edu/~armstrong/Charlas/RCC_AIM.pdf

http://thales.math.uqam.ca/~nwilliams/docs/AIM%202012/RCCAIMOutlineOnline.pdf

http://aimath.org/pastworkshops/rationalcatalanrep.pdf

https://www.math.ucdavis.edu/~egorskiy/Presentaciones/qtcat.pdf