¿Cuál es la relación precisa entre Langlands y Tannakian formalismo?

Question

Como cualquier persona que ha estado leyendo los foros de cerca se puede ver, he estado un promedio de una pregunta de un día sobre Tannakian formalismo para los últimos días. Es un concepto interesante!

En cualquier caso, me gustaría ahora que se relacionan con el otro tema de que tengo sólo una tenue comprender: el programa de Langlands. Por lo que he entendido más y más acerca de Tannakian formalismo, parecía más y más como él tiene algo que ver con Langlands. Una búsqueda en google lo confirma. Hay varias fuentes que grupo estas dos cosas juntas. He aquí un ejemplo:

http://www.claymath.org/cw/arthur/pdf/automorphic-langlands-group.pdf

http://www.institut.math.jussieu.fr/~harris/Takagi.pdf

Pero mi comprensión de Langlands es débil. Por cierto, estoy familiarizado con el Campo de Clase de Teoría, y en cierta medida limitada con Taniyama-Shimura. Siempre me pareció Langlands difícil de penetrar. Pero ahora que sé que existe una relación entre Langlands y Tannakian formalismo, tengo la esperanza de que esto me dará una vista de pájaro de Langlands.

Así que la pregunta es: ¿Tannakian formalismo simplificar la declaración de Langlands, o al menos motivar es? Qué tiene que ver con la motivic grupo de Galois (definida como el grupo de predecir a partir de Tannakian formalismo en la categoría numérica motivos)? Cómo es, precisamente, Tannakian formalismo utilizado en Langlands?

A la luz de estas ideas, puedo hacerle una pregunta secundaria: ¿existe una relación entre el estándar de conjeturas y Langlands? (¿ uno implica el otro?)

Answer 1

A pesar de que hay varios automorphic documentos de debate sobre la Tannakian outlook (en particular, Ramakrishnan del artículo en Motivos (Seattle 1991, AMS) y Arthur Una nota en el grupo de Langlands, (mencionados anteriormente) no existe todavía ningún formulación de Langlands correspondencia entre las representaciones de Galois y automorphic representaciones como una equivalencia de Tannakian categorías. Hay (al menos) dos preguntas fundamentales en la Tannakian aspectos de la Langlands correspondencia.

1) ¿Cuál es la definición de la categoría de automorphic representaciones para cualquier número en el campo?

aquí uno de los medios automorphic representaciones de GL, cualquier $n \ge 0$.

2) ¿Cómo dotar a la categoría 1) con un tensor de estructura para hacer de ella Tannakian?

aquí el postulado Tannakian grupo es el "Langlands Grupo" que es mucho más grande de la motivic Galois grupo (no todos los automorphic representaciones corresponden a Galois representaciones..sólo algebraica de ellos - ver el trabajo de Clozel y la obra más reciente de Buitre-Gee).

Un punto interesante: Arthur papel de los postulados de la Langlands grupo como una extensión de la costumbre Galois grupo por un (pro-) localmente compacto grupo, mientras que el motivic grupo de Galois es una extensión de la costumbre grupo de Galois por un pro-algebraica de grupo. Una ilustración de la diferencia es siempre por el caso de abelian motivos; el Langlands grupo es el abelianisation de la Weil grupo mientras que el motivic grupo es el Taniyama grupo (ver referencias más abajo).

Pero el Tannakian outlook, a pesar de sus actuales inaccesibilidad, ya ha tenido un profundo impacto. Ver Langlands de papel "Ein Marchen etc" (donde el Tannakian aspecto fue escrito por primera vez con muchas consecuencias para la Taniyama grupo (Milne notas)) así como Serre el libro de Abelian l-ádico representaciones para muchas referencias.

Parece que nada se sabe respecto a la segunda pregunta. Sin embargo, consulte la página 6) de estos comentarios de Langlands:

"A pesar de que hay poco punto en el prematuro la especulación acerca de la forma en la que el final de la teoría de la conexión de automorphic formas y motivos tendrá, cierta anticipación de las posibilidades que ha resultado ser útil. Motivic $L$-funciones, en términos de que Hasse-Weil zeta funciones se expresan, se introducen en un Tannakian contexto.

....

Una adecuada Tannakian formulación de functoriality y de la relación entre automorphic representaciones y motivos ([Cl1, Ram]) se supone que incluirá la Tate conjetura ( [Ta] ) como una afirmación de surjectivity. La Tate conjetura de la misma está íntimamente relacionada con la conjetura de Hodge cuya formulación es algebro-geométrica y topológica en lugar de arthmetical. ..."

Las referencias que aquí se Clozel y Ramakrishnan los papeles y, a continuación, Tate papel de la Tate conjetura.

Esto es sólo una respuesta aproximada a partir de un novato..para una precisa y detallada respuesta, esperemos a los expertos!