Existe una mejor prueba de este hecho en la teoría de números/grupo formal de la teoría?

Question

Deje $\Phi_n$ ser $n$'th cyclotomic polinomio, y poner $$\begin{align*} a_n &= \Phi_n(1) \\ b_n &= \gcd\left(\left(\begin{array}{c} n \\ 1\end{array}\right)\dotsc,\left(\begin{array}{c} n \\ n-1\end{array}\right)\right) \\ c_n &= \begin{cases} p & \text{ if } n = p^k \text{ for some prime } p \text{ and } k>0 \\ 1 & \text{ otherwise. } \end{casos} \end{align*}$$ Es bien sabido que el $a_n=b_n=c_n$. De hecho, hay un montón de maneras de demostrar que $a_n=c_n$, y un montón de maneras de demostrar que $b_n=c_n$. Yo pregunto: ¿hay una manera más directa la prueba de que $a_n=b_n$? Una buena respuesta podría dar un enfoque más ordenado a algunos de los resultados fundamentales en grupo formal de la teoría. Idealmente me gustaría una prueba de que expresa el $a_n$ como $\mathbb{Z}$-combinación lineal de los coeficientes binomiales como en $b_n$.

Answer 1

Definir $a_n=\Phi_n(1)$ con la excepción de $a_1=1$. Estos valores se determina únicamente por $$n=\prod_{d \mid n}a_d.$$ From this it would be quick to get $a_n=c_n$ but , as requested, we won't. An important step is to observe that $\gcd(a_m,a_n)=1$ if $\gcd(m,n)=c \lt m \lt n.$ This follows from $\gcd(\frac{m}{c},\frac{n}{c})=1$ by writing $m,n,c$ as products of the $a_i$ y la simplificación.

Si se sigue que $$n!=\prod_{k=1}^na_k^{\lfloor n/k\rfloor}$$ and $$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\prod_{k \le n}a_k^{e_{n,m,k}}$$ where the exponent $$e_{n,m,k}=\lfloor n/k \rfloor-\lfloor m/k \rfloor-\lfloor (n-m)/k \rfloor$$ Note that $0 \le e_{n,m,k} \le 1$ and $e_{n,m,k}=0$ if $k \mediados de los m$ and $k \a mediados n.$

Esperamos demostrar que $$\gcd{\Large (}\binom{n}{1},\binom{n}{2},\cdots,\binom{n}{n-1}{\Large )}=a_n.$$ We certainly know that $a_n$ divides each of these binomial coefficients. We will now see that it is sufficient to consider just $\binom{n}{1}$ and the various $\binom{n}{n/p}$ as $p$ ranges over the prime divisors of $n.$

Deje $n=q_1q_2\cdots q_j$ cuando la $q_j=p_j^{e_j}$ son atribuciones de los distintos números primos y definir $G_0=\binom{n}{1}$ e $G_i=\gcd(G_{i-1},\binom{n}{n/p_i})$ para $1 \le i \le j.$ Entonces $G_i$ es el producto de la $a_k$ con $q_1q_2\cdots q_i \mid k \mid n.$ e $G_j=a_n$

Voy a ilustrar con el ejemplo de $n=900=2^23^25^2$. Así $G_0=\binom{900}{1}$, $G_1=\gcd(G_0,\binom{900}{900/2})$, $G_2=\gcd(G1,\binom{900}{900/3})$ y $G_3=\gcd(G_2,\binom{900}{900/5}).$ afirmo que la $G_3=a_{900}.$

$G_0=\binom{900}{1}$ es el producto de la $26$ $a_k$ con $1 \lt k \mid 900.$ De estos, el $9$ que son múltiplos de $2^2$, es decir, $a_4,a_{12},a_{20},a_{36},a_{60},a_{100},a_{180},a_{300}$ e $a_{900}$ también se dividen $\binom{900}{900/2}=\binom{900}{450}$, el otro $17$ ha $e_{900,450,k}=0.$ Hay muchos otros $a_k$ con $e_{900,450,k}=1$ pero todos ellos son relativamente primos a $G_0$ por el importante paso anterior. Por lo tanto $G_1$ es exactamente el producto de la $9$ $a_k$ con $4 \mid k \mid 900$. Ahora $G_2=\gcd(G_1,\binom{900}{300})=a_{36}a_{180}a_{900}$ ya que la única otra $a_k$ dividiendo $\binom{900}{300}$ son tales que $k$ ni divide, ni es un múltiplo de $4,12,20,60,100,300$ y por lo tanto todos son relativamente primos a $G_1$ por el paso importante. Finalmente, $G_3=\gcd(G_2,\binom{900}{180})=a_{900}$ ya que la única otra $a_k$ con $e_{900,180,k}=1$ son primos relativos tanto a $a_{36}$ e $a_{180}$.

Yo creo que esto no lo había solicitado.

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Puede ser útil echar un vistazo a una más abstracta de la creación, donde esencialmente la misma prueba pasa a través de. La idea es reemplazar cada entero $n$ por una generalizada entero $I_n$, reemplace $a_n$ por algunos adecuado $A_n$, definir una generalizada factorial $[I_n]!=I_1I_2\cdots I_n$ y luego generalizada del coeficiente binomial $${n \brack m}=\frac{[I_n]!}{[I_m]![I_{n-m}]!},$$ and deduce that $\dpc\left( {n \brack 1},{n \brack 2},\cdots,{n \brack {n-1}}\right)=A_n$. What is meant by $\gcd$ necesidades especificadas en algunos casos.

Supongamos que tenemos un anillo conmutativo $\mathcal{R}$ y dentro de una secuencia de elementos $I_1,I_2,I_3,\cdots$ con la propiedad

$$\gcd(I_m,I_n)=I_{\gcd(m,n)} \tag{**}$$

o quizá simplemente el más débil de la propiedad

$I_d \mid I_n$ cuando $d\mid n$ $(*)$

Basado solo en $(*)$ tenemos que existen elementos $A_1,A_2,\cdots$ definida únicamente por $I_n=\prod_{d\mid n}A_d.$ (a Pesar de que no la necesita, entonces se sigue que $A_n=\prod_{d\mid n}I_n^{\mu(n/d)}$ donde $\mu$ es el clásico de la función de Möbius.)

Un familiar y la opción obvia con (**) es$I_n=1+X+\cdots+X^{n-1}.$, Luego tenemos el cyclotomic polinomios $A_n=\Phi_n(X)$ definido por $$I_n=\prod_{d\mid n}A_d.$$ (Except that $A_1=1$.)

Ejemplos con (*) incluyen

1. $I_n=n$ en $\mathbb{N}$
2. Los números de Fibonacci $F_n$ en $\mathbb{N}$
3. $I_n=u^n-v^n$ en $\mathbb{Z}[u,v]$
4. $I_n=\frac{u^n-v^n}{u-v}=\Sigma_{k=0}^{n-1}u^{n-k-1}v^{k}$ en $\mathbb{Z}[u,v]$

Apartes: siempre vamos a ser capaces, si se desea, para asumir la $A_1=I_1=1$ reemplazando $I_n$ con $\frac{I_n}{I_1}$ como en el 4. Ejemplo 1 es el caso de la $u=v=1$ 4, mientras que en el ejemplo 2 es el caso de la $u,v=(1\pm \sqrt{5})/2$ con la conveniente función de $uv=-1$. La opción obvia de arriba es el ejemplo 4 con $u=X,v=1.$

En cualquier caso, teniendo en cuenta (*) se puede definir un factorial generalizada $$[I_n]!=I_1I_2I_3\cdots I_n$$ and it follows that $$[I_n]!=\prod_{k=1}^nA_k^{\lfloor n/k\rfloor}$$ como en el entero caso.

También podemos definir un coeficiente binomial generalizado por

$${n \brack m}=\frac{[I_n]!}{[I_m]![I_{n-m}]!}=\prod_{k \le n}A_k^{e_{n,m,k}}$$

El argumento anterior se transforma en la $\gcd\left( {n \brack 1},{n \brack 2},\cdots,{n \brack {n-1}}\right)=A_n$ siempre tenemos la más fuerte afección $(**)$. Esto requiere knowng lo que se entiende por $\gcd$ y que se comporta como se espera. No creo que (**) sostiene que para el ejemplo 4, pero no al $v=1$. El hecho de que se sostenga en el caso del ejemplo 2 es quizás debido a la mayor relación $uv=-1$.

En un anillo de $\mathcal{R}$ I se toma como la definición de $\gcd(U,V)=W$ ($W$ es un mcd de $U$ e $V$) para ser

$W \mid U$ e $W \mid V$ e $US+VT=W$ para algunos $S,T \in \mathcal{R}$.

Tenga en cuenta que no asumimos que cada par $U,V$ tienen un $\gcd$. En $\mathbb{Z}[X]$ no Tenemos una $\gcd$ para $U=\Phi_4=X^2+1$ e $V=\Phi_2=X+1$. Podemos obtener $US+VT=2$ pero no $1$.

En realidad encontrar el explícito de los cofactores pueden ser poco práctico.

El hecho de que existen, de la siguiente manera (en algunos de los ejemplos de arriba) de

• $1n-1m=n-m$
• $| F_{m+1}F_n-F_{n+1}F_m |= F_{n-m}$
• $1\frac{X^n-1}{X-1}-X^{n-m}\frac{X^m-1}{X-1}=\frac{X^{n-m}-1}{X-1}$

pero incluso en el primer caso no tenemos una simple forma explícita de encontrar $s,t$ con $ns+mt=\gcd(n,m)$, incluso en el caso de que el lado derecho es $1.$ Además, la afirmación de que esta $\gcd$ se comporta de manera apropiada depende de la aplicación iterada de hechos tales como:

Dado (en algunos ring) que $\gcd(U,V)=\gcd(U,V')=1$ en el sentido de que no se $S,T,S',T'$ con $US+TV=1$ e $U'S'+T'V'=1$, se deduce que el $\gcd(U,VV')=1$ desde $$U{\LARGE(}USS'+ST'V'+S'TV{\LARGE)}+VV'(TT')=1.$$

Es algo que me han preguntado acerca de antes, aunque no muy claramente.

Answer 2

Inspirado por la respuesta anterior estoy pensando en la más simple de las formas posibles de probar $$dpc\left(\binom n1_q,...,\binom n{n-1}_q\right)=\Phi_n(q).$$ Uno de los más primitiva forma de hacerlo es comprobar que ambos lados tienen la misma raíz. A la izquierda, la multiplicidad de una raíz primitiva de la unidad de grado $k$ es $$\min\left\{\left[\frac nk\right]-\left[\frac mk\right]-\left[\frac{n-m}k\right]\ |\ m=1,...,n-1\right\}$$ y no debe ser difícil demostrar que esto es 0 para $k\ne n$ y 1 para $k=n$.

Answer 3

Esta respuesta parecía ser una simplificación de los argumentos dados por Aaron Meyerowitz.

Como se mencionó números de $a_n=\Phi_n(1)$ se determina únicamente por $$n=\prod_{d \mid n}a_d.$$ So it is sufficient to check that numbers $c_n$ satisfy the same equation. But $c_n=e^{\Lambda(n)}$, donde $$\Lambda(n)=\begin{cases} \log p & \text{ if }n = p^k, \\ 0 & \text{otherwise}, \end{casos}$$ y la verificación de la identidad de $n=\prod_{d \mid n}c_d$ es un ejercicio fácil.

Podemos expresar $a_n$ como $\mathbb{Z}$-combinación lineal de los coeficientes binomiales como en $b_n$, de la siguiente manera (esta construcción es tomado del artículo del Coeficiente de anillos de grupos formales).

Si $n=p^k$ entonces $\binom{n}{p^{k-1}}\equiv p\pmod{p^2},$, por lo que podemos fácilmente encontrar $\lambda_{p^{k-1}}$ tal que $\lambda_{p^{k-1}}\binom{p^k}{p^{k-1}}\equiv p\pmod {p^{k}}$. Así que para algunos $\lambda_{1}$ $$\lambda_{p^{k-1}}\binom{p^k}{p^{k-1}}+\lambda_{1}\binom{p^k}{1}=p.$$

Ahora vamos a $n=p_1^{k_1}\ldots p_s^{k_s}$ donde $s>1$. Entonces por Kummer del teorema $\mathrm{ord}_{p_i}\binom{n}{p_i^{k_i}}=0$ y $\mathrm{ord}_{p_j}\binom{n}{p_i^{k_i}}\ge k_j$ ($j\ne i$). Tomando $\lambda_{p_i^{k_i}}\equiv \binom{n}{p_i^{k_i}}^{-1}\pmod{p_i^{k_i}}$ vamos a tener $$\lambda_{p_1^{k_1}}\binom{n}{p_1^{k_1}}+\ldots+\lambda_{p_s^{k_s}}\binom{n}{p_s^{k_s}}\equiv 1\pmod n.$$ Así que para algunos $\lambda_1$ $$\lambda_{p_1^{k_1}}\binom{n}{p_1^{k_1}}+\ldots+\lambda_{p_s^{k_s}}\binom{n}{p_s^{k_s}}+\lambda_{1}\binom{n}{1}=1.$$