¿Cómo se descubrió la importancia de la función zeta?

Question

Esta pregunta es similar a ¿Por qué las funciones zeta contienen tanta información? pero es distinto. Si las respuestas a esa pregunta también responden a esta, no entiendo por qué.

La cuestión es la siguiente: con el beneficio de la retrospectiva, la función zeta se había convertido en la base de un gran cuerpo de teoría, lo que llevó a generalizaciones de la CFT, y a las poderosas conjeturas de Langlands. ¿Pero qué hizo que los matemáticos del siglo XIX se tropezaran con algo tan grande? Después de todo $ \sum \frac {1}{n^s}$ es sólo una de las muchas funciones posibles que se pueden definir que tienen que ver con los números primos. ¿Cómo y por qué se reconoció que la función definida a priori de forma extravagante era de importancia fundamental?

Answer 1

Era un problema clásico que se remontaba a Mengoli para encontrar una expresión cerrada para la suma de los cuadrados inversos. Esto fue resuelto por Euler, que vio más generalmente cómo evaluar $ \zeta (2k)$ en los números enteros positivos. Más tarde, Euler "calculó" los valores de $ \zeta (s)$ en números enteros negativos también y conjeturó la ecuación funcional de la función zeta. Euler también vio la conexión con los números primos y utilizó la factorización de Euler para estimar el número de primos hasta $x$ .

La mayoría de los resultados de Euler fueron hechos rigurosos por Dirichlet (su prueba de la infinitud de los primos en la progresión aritmética se construyó sobre los resultados de Euler) y Riemann (quien interpretó $ \zeta (s)$ como una función en el plano complejo, demostró la ecuación funcional e indicó cómo el número de primos está conectado con los ceros de la función zeta). Hay muchos más nombres que deben ser mencionados (Kummer, Dedekind, Mertens, Landau, ...).

En cualquier caso, fue Euler quien tropezó con la función zeta más o menos por accidente, y ya reconoció su importancia.

Answer 2

Andre Weil tiene un artículo llamado "Prehistoria de la función zeta" (revisado por Jutila en mathscinet). Leí este artículo hace muchos años, pero esto es básicamente lo que recuerdo de su contenido. Aparentemente la divergencia de la serie armónica se conocía en 1650. Euler calculó los valores especiales en números enteros pares y derivó algún tipo de ecuación funcional. También probó la fórmula del producto de Euler y dio una prueba de la infinitud de los números primos usando el producto de Euler. Dirichlet definió las funciones generales L que ahora llevan su nombre pero sólo para s>1 reales. Riemann extendió la definición de la función zeta a todos los valores complejos y probó la ecuación funcional. Según Weil había otras personas que habían probado ecuaciones funcionales para funciones que estaban estrechamente relacionadas con la función zeta (a saber, Malmstén, Schlömilch y Clausen de la revisión), pero quizás la contribución de Riemann es el singular documento que estableció la importancia de la función zeta como un objeto importante de estudio. Weil cree que Riemann fue influenciado por su discusión con Eisenstein.

Answer 3

Aquí hay un texto que recuerdo que me pareció agradable:

http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/zetafunction.ps