EDITAR Se han corregido un par de inexactitudes y errores, y se han añadido algunas referencias.
En aras de la claridad, permítanme trabajar con complejos de cochainas de grado no negativo, y analizar el caso de un functor covariante exacto izquierdo, para demostrar que su functor derivado derecho es un cohomológico universal (covariante) $\delta$ -funcionario.
Dejemos que $\mathcal A$ y $\mathcal B$ sean dos categorías abelianas, y sea $F : \mathcal A \to \mathcal B$ sea un functor exacto a la izquierda. Permítanme denotar por $\gamma_\mathcal{A}$ el functor de localización $\mathrm{Ch}_+(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}_+(\mathcal{A})$ . Sea $\tilde S_\mathcal{A}$ denotan la subcategoría completa de $\mathrm{Ch}_+(\mathcal A)$ formado por complejos discretos (es decir, por complejos cuyas diferenciales son todas nulas). Sea $S_\mathcal{A}$ denotan su imagen esencial en la categoría derivada.
En primer lugar, observe que un $\delta$ -es un caso particular de lo que MacLane llama "secuencias conectadas" (una secuencia conectada es un $\delta$ -si la secuencia larga que induce es exacta). Ahora bien, definir una sucesión conexa equivale a definir un functor $S_\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ (véase la Proposición XII.8.1 y la Proposición XII.8.2 en [1]). Parte de la equivalencia funciona como sigue: dado cualquier $T : S_\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , defina $T^n(A) := T(A[n])$ y comprobar que, dada cualquier secuencia exacta $0\to A\to B\to C\to 0$ la imagen de la clase que le corresponde en $$S_\mathcal{A}(C[n],A[n+1]) \simeq \mathrm{D}_+(\mathcal A) (C[n], A[n+1]) \simeq \mathrm{Ext}^1_{\mathcal A}(C,A)$$ en $T$ le da un morfismo $\delta^n : T^n C \to T^{n+1} A$ dando $\{T^n\}$ la estructura de una secuencia conectada. Puedes encontrar los detalles de esta construcción en [1].
Tenemos que $$\mathbb{R}F := \mathrm{Lan}_{\gamma_\mathcal{A}(-[0])} (\gamma_\mathcal{B} F(-)[0]).$$ Ahora, podemos postcomponer las esquinas inferiores del cuadrado definiendo $\mathbb{R}F$ a lo largo de los funtores $$\gamma_{\mathcal A} \circ \bigoplus_{n\geq 0} H^n : \mathrm{D}_+(\mathcal{A}) \to S_\mathcal{A}$$ y $$H^0 : \mathrm{D}_+(\mathcal{B}) \to \mathcal{B}$$ como sigue
$$ \require{AMScd} \begin{CD} \mathcal{A} @>{F}>> \mathcal{B}\\ @VVV @VVV \\ \mathrm{D}_+(\mathcal{A}) @>{\mathbb{R}F}>> \mathrm{D}_+(\mathcal{B})\\ @VVV @VVV \\ S_\mathcal{A}@. \mathcal{B} \end{CD} $$
y además Kan extender, obteniendo la secuencia conectada $RF : S_\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ como $$\mathrm{Lan}_{\gamma_\mathcal{A} \circ \oplus_n H^n \circ (-)[0]}(H^0 \circ (-)[0] \circ F) \simeq \\ \simeq \mathrm{Lan}_{\gamma_\mathcal{A} (-[0])}(F).$$ Ahora, dada cualquier otra secuencia conectada (en particular, cualquier $\delta$ -funcionario) $T : S_\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ por definición de la extensión Kan izquierda tenemos $$\mathrm{Nat}(RF,T) \simeq \\ \simeq \mathrm{Nat}(F, T \circ \gamma_{\mathrm{A}} (-[0])) \simeq \\ \simeq \mathrm{Nat}(F,T^0)$$ demostrando que la "universalidad" de $RF$ funciona no sólo para $\delta$ -pero en general para secuencias conectadas.
El hecho de que para $F$ izquierda exacta y $\mathcal A$ con suficientes injetivos se tiene que $RF$ no es sólo una secuencia conectada, sino que realmente es una $\delta$ -se deduce de XII.8.3, 4 y 5 en [1].
[1] MacLane - Homología
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No creo que sea posible comparar las dos definiciones con total generalidad. He preguntado a un pregunta relacionada hace algunos años - es un hecho que el universal $\delta$ -calculados mediante resoluciones aniquilan objetos inyectivos, pero no sé si esto es cierto para todos los universales $\delta$ -funcionarios.
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¿Podría indicar el número de página, por favor? En caso de que necesite una estructura de categorías de modelos, le sugiero que empiece por la página de nLab http://ncatlab.org/nlab/show/model+estructura+en+cadena+de+complejos .
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@PhilippeGaucher Página 126, sección 41.5.
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Estoy bastante seguro de que esas definiciones no coinciden ni están siquiera estrechamente relacionadas, salvo en casos especiales. Nótese que hay una estructura extra que te falta en el lado derecho: el paso a la homología después de la extensión de Kan. Definir un análogo de la homología en la categoría de homotopía requiere la noción de estructura t, y puede haber estructuras t muy diferentes (o incluso ninguna) en la misma categoría de homotopía (busque "gavillas perversas"). La noción de funtor delta por sí sola no es lo suficientemente profunda como para reclamar algunas propiedades estructurales, es sólo una declaración de las propiedades más básicas de los funtores derivados.
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Sin embargo, en el importante caso específico de los funtores derivados clásicos de la izquierda y la derecha, es un teorema que efectivamente forman funtores delta universales. Para la demostración, véase, por ejemplo, ([1], capítulo 2), en particular los teoremas 2.4.6 y 2.4.7. El hecho de que los funtores derivados clásicos se factorizan a través de la extensión de Kan a lo largo de la localización con respecto a los cuasi-isomorfismos se demuestra en ([1], tesis 10.5.6). [1]: C. A. Weibel, An introduction to homological algebra.
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@AntonFetisov Con respecto a Thm 10.5.6 - usted dijo que los funtores derivados clásicos factorizan a través de extensiones de Kan a lo largo de la localización con respecto a los cuasi-isomorfismos. ¿No significa esto sólo que los funtores derivados clásicos preservan los q.i.? ¿No son universales en este sentido, o la universalidad sólo existe para el funtor derivado total? (p.s - He añadido la parte que se me olvidó sobre la toma de la homología de la extensión Kan).