¿Es el axioma $\Diamond\Box\varphi\to\Box\Diamond\varphi$ ¿en potencialismo de forzamiento c.c.c. equivalente a la productividad del forzamiento c.c.c.?

Question

Esta cuestión surgió en relación con un ciclo de conferencias sobre Potencialismo que acabo de terminar aquí en Hejnice (República Checa) en la Escuela de Invierno 2018 (véase Diapositivas ). Varios de nosotros discutimos la cuestión hasta altas horas de la noche después de mis charlas, y seguimos sin tener una resolución.

Consideremos el contexto del forzamiento c.c.c. sobre el universo set-teórico $V$ . Interpretemos las modalidades por la fuerza c.c.c., así $\Diamond\varphi$ significa que $\varphi$ es c.c.c. forzable, y $\Box\varphi$ significa que $\varphi$ se cumple en todas las c.c.c. extensiones.

Es fácil ver que bajo el axioma de Martin $\text{MA}_{\omega_1}$ , cada instancia del $(.2)_{ccc}$ esquema axiomático $$\Diamond\Box\varphi(a)\to\Box\Diamond\varphi(a)$$ donde $a$ es un parámetro de tamaño hereditario como máximo $\omega_1$ . Este esquema afirma que cualquier afirmación que sea c.c.c. posiblemente necesaria es c.c.c. necesariamente posible. Puesto que se deduce de MA, pero no se cumple en $L$ por ejemplo, se puede considerar el axioma como una versión débil de MA.

Por ejemplo, el $(.2)_{ccc}$ implica que no existen árboles de Suslin. Para ver esto, supongamos $T$ es un árbol de Suslin y considere la afirmación " $T$ tiene una rama". Esto es c.c.c. posiblemente necesario, ya que podríamos forzar con $T$ pero no es c.c.c. necesariamente posible, ya que podríamos obligar en su lugar a especializar $T$ , lo que le impediría obtener una rama en cualquier c.c.c. extensión.

En $(.2)_{ccc}$ esquema se mantiene siempre y cuando el producto $\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$ de dos nociones de forzamiento c.c.c. sigue siendo c.c.c., que es una consecuencia de $\text{MA}_{\omega_1}$ . Para verlo, supongamos que $\Diamond\Box\varphi(a)$ retenciones. Por lo tanto existe una noción de forzamiento c.c.c. $\mathbb{P}$ forzando $\Box\varphi(a)$ . Ahora, para cualquier noción de forzamiento del c.c.c. $\mathbb{Q}$ el producto $\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$ es c.c.c., y así $\mathbb{P}$ permanece c.c.c. después de forzar con $\mathbb{Q}$ . La extensión del producto satisface $\varphi(a)$ ya que puede considerarse una extensión de $V^{\mathbb{P}}$ y así $\Box\Diamond\varphi(a)$ mantiene en $V$ como deseado.

Pregunta. ¿Es el esquema axiomático (.2) para c.c.c. forzando $$\Diamond\Box\varphi(a)\to\Box\Diamond\varphi(a)$$ equivalente a la afirmación de que el producto de c.c.c. ¿es necesariamente c.c.c.?

Permitimos cualquier $\varphi$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos y cualquier parámetro $a$ de tamaño hereditario como máximo $\omega_1$ .

La cuestión es sumamente natural, ya que la productividad del c.c.c. está estrechamente relacionada con la direccionalidad de las extensiones (mutuamente c.c.c. (mutuamente genéricas), y los preórdenes finitos dirigidos son S4.2, cuyo axioma central es precisamente el esquema en cuestión. en cuestión.

Permítanme hacer varias observaciones.

• Si se asume el principio de maximalidad c.c.c., que es el esquema S5 $$\Diamond\Box\varphi(a)\to\varphi(a),$$ entonces el producto de c.c.c. forzando es c.c.c., y la razón es que si un producto $\mathbb{P}\times\mathbb{Q}$ de c.c.c. forzando no era c.c.c., entonces hay una instancia de tamaño $\omega_1$ y la afirmación " $\mathbb{P}$ es no c.c.c." sería posiblemente necesario por el c.c.c. forzando $\mathbb{Q}$ por lo que tendría que ser ya cierto por la principio de maximalidad, contradiciendo la suposición de que $\mathbb{P}$ era c.c.c.

• El axioma (.2) equivale exactamente a la afirmación de que no hay agujas de ferrocarril, por utilizar la terminología de mi charla. Así que la pregunta es si se puede construir una aguja de ferrocarril a partir de cualquier violación de la productividad del c.c.c..

Así pues, la cuestión parece estar fundamentalmente relacionada con la pregunta: si una noción de forzamiento c.c.c. $\mathbb{P}$ no es c.c.c. necesariamente c.c.c., entonces debe haber fundamentalmente dos maneras diferentes e incompatibles formas de c.c.c. destruir la c.c.c.ness de $\mathbb{P}$ ? Si es así, entonces esto equivaldría a una respuesta afirmativa a la pregunta, porque la afirmación de que $\mathbb{P}$ fue no c.c.c. por la primera vía sería c.c.c. posiblemente necesaria, pero no c.c.c. necesariamente posible, porque podríamos destruirlo de la otra manera.

Por último, he aquí una versión algo más débil de la pregunta.

Pregunta más débil. ¿El esquema de axiomas (.3) para el forzamiento c.c.c., con parámetros de tamaño hereditario a lo sumo $\omega_1$ $$\Diamond\varphi(a)\wedge\Diamond\psi(a)\to\Diamond[(\varphi(a)\wedge\Diamond\psi(a))\vee(\psi(a)\wedge\Diamond\varphi(a))]$$ ¿implican la productividad del forzamiento c.c.c.?

La cuestión es que S4.3 implica S4.2, por lo que esta pregunta puede ser más fácil de responder. Debe pensarse que el axioma (.3) expresa la linealidad de la verdad, ya que dice que si dos enunciados son c.c.c. forzosos, entonces puede considerarse que uno de ellos ocurre antes que el otro. Esto es más débil que el principio de maximalidad, y más fuerte que (.2), pero aún no sé cómo demostrar que implica que el producto de la forzabilidad c.c.c. es c.c.c.

Answer 1

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Fracaso de $\sf CH$

Parece que estaba un poco equivocado en mi intento inicial de mostrar $(.2)_{ccc}$ implica el fracaso de $\mathsf{CH}$ . Este es el argumento correcto.

Proposición 1 : Suponiendo $(.2)_{ccc}$ .

• Si $K\subset [\omega_1]^2$ es incontable y c.c.c. entonces el grafo $L = [\omega_1]^2 \backslash K$ no es poderosamente c.c.c.

(en particular $\mathsf{CH}$ falla, véase Galvin1977 ; además, si no he entendido mal, esta declaración es una mezcla impar de algunas de las relaciones de partición c.c.c. enumeradas aquí LarTodo2001 , p. 87.)

Prueba : Considere la afirmación $\varphi(a) := (\exists H)(\vert H \vert > \omega$ y $[H]^2 \subset a)$ entonces para cada grafo c.c.c. incontable $K$ tenemos $\diamondsuit \square \varphi(K)$ (como atestigua la orden parcial $\mathbb{P}_{K}$ de finito $K$ -cliques, que se supone c.c.c.) Aplicando $(.2)_{ccc}$ debemos concluir $\square \diamondsuit \varphi(K)$ .

Para establecer el resultado, obsérvese que si el producto de soporte finito de un número contable de copias de $\mathbb{P}_L$ es c.c.c., entonces en la extensión correspondiente, $\omega_1$ está cubierto por un número contable de $L$ -conjuntos homogéneos. De ello se deduce que en ningún $\omega_1$ -preservando la extensión forzosa, ¿puede la afirmación $\varphi(K)$ aguanta. $\square$

Observación: el uso de "no poderosamente c.c.c." en lo anterior fue un poco una evasión ya que pasé demasiado tiempo pisando el agua en simplemente "no c.c.c."; sin embargo, parece ser importante.

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Resultado parcial sobre los productos.

Resulta que, bajo $(.2)_{ccc}$ existe una conexión entre ser poderosamente c.c.c. y ser productivamente c.c.c.; en particular

Proposición 2: Suponiendo que $(.2)_{ccc}$ :

• Si $\mathbb{P}$ es poderosamente c.c.c. (es decir, cada potencia finita de $\mathbb{P}$ es c.c.c.), entonces $\mathbb{P}$ es productivamente c.c.c. (es decir, el producto de $\mathbb{P}$ con cualquier otro forzamiento c.c.c., es de nuevo c.c.c.)

Prueba: Dada una relación de orden $a \subset \omega^{V}_1 \times \omega^{V}_1$ definido en $\omega^{V}_1$ , dejemos que $\varphi(a)$ sea la declaración

$\varphi(a):= \left(\exists \mathcal{C} \subset \mathcal{P}(\omega^V_1)\right)(| \mathcal{C} | \le \omega$ Cada $C \in \mathcal{C}$ está centrado con respecto a $\le_a$ y $\omega^V_1 \subset \cup\mathcal{C})$

(debe quedar claro que $\varphi(a)$ se cumple si el orden parcial $(\omega^V_1, \le_a)$ es $\sigma$ -centrado).

Ahora, para cada relación de orden fuertemente c.c.c. $R \subset \omega^V_1 \times \omega^V_1$ la declaración $\diamondsuit \square \varphi(R)$ es válida (ya que, por suposición, el producto de soporte finito de un número contable de copias del orden parcial $(\omega^V_1, \le_R)$ es c.c.c. y en la extensión generada por este producto, el $\Sigma_1$ declaración $\varphi(R)$ retenciones). Como tal, de $(.2)_{ccc}$ podemos concluir $\square \diamondsuit \varphi(R)$ .

Para establecer el resultado, fijar algún orden parcial c.c.c. $\mathbb{P}$ . Aplicando nuestra interpretación de los operadores modales $\square$ y $\diamondsuit$ tenemos garantizada la existencia de un $\mathbb{P}$ -nombre $\dot{\mathbb{Q}}$ tal que, la iteración $\mathbb{R}=\mathbb{P}\ast \dot{\mathbb{Q}}$ es c.c.c. y obliga a $\varphi(R)$ .

Por lo tanto, fijar un $\mathbb{R}$ -nombre $\dot{\mathcal{C}}$ testigo $\varphi(R)$ y arbitraria $\mathbb{P}$ -nombre $\dot{A}$ forzado por $1_\mathbb{P}$ ser un $R$ anticadena, se mantiene lo siguiente :

• $\Vdash_\mathbb{R} (\forall C \in\dot{\mathcal{C}})( |C \cap \dot{A}| < \omega)$

• $\Vdash_\mathbb{R} |\mathcal{\dot{C}}| < \dot{\omega}_1=\omega^V_1$ y

• $\Vdash_\mathbb{R} \dot{A} \subset \bigcup \mathcal{\dot{C}}$

y se combinan para implicar $\Vdash_\mathbb{P} | \dot{A} | < \dot{\omega}_1 = \omega^V_1$ . Por lo tanto $\Vdash_{\mathbb{P}} (\omega^V_1, \le_\check{R}) \text{ is c.c.c. }$ y el resultado es el siguiente. $\square$

Observación : Vale la pena señalar que bajo $\sf CH$ una c.c.c. potente no implica una c.c.c. productiva ( Galvin1977 )

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La siguiente dicotomía es un corolario interesante de la Proposición 2.

Dicotomía de productos : Suponiendo $(.2)_{ccc}$ : Para cada orden parcial $\mathbb{P}$ : Exactamente uno de lo siguiente,

• El producto de $\mathbb{P}$ con cualquier orden parcial c.c.c. es c.c.c.

O,

• Alguna potencia finita de $\mathbb{P}$ no es c.c.c.

Prueba: Sin pérdida de generalidad, supongamos $\mathbb{P}$ es c.c.c. y aplicar la Proposición 2.

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A la luz del corolario anterior, la siguiente pregunta parece natural.

Pregunta: En $(.2)_{ccc}$ ¿implica que todo orden parcial c.c.c. es poderosamente c.c.c.?

Como señala @JoelDavidHamkins, ya era suficiente con considerar el cuadrado de los órdenes parciales c.c.c.