El grupo de renormalización La ecuación está dada por: \begin {ecuación} \left [ \mu \frac { \partial }{ \partial \mu } + \beta \frac { \partial }{ \partial g} + m \gamma_ {m^2} \frac { \partial }{ \partial m} - n \gamma_d \right ] \Gamma G,M, \mu ) = 0 \end {ecuación} donde: \begin {alinear} \beta & \equiv \mu \frac { \partial g}{ \partial \mu } \\ \gamma_d & \equiv \frac {1}{2} \mu \frac { \partial \ln Z_ \phi }{ \partial \mu } \\ \gamma_ {m^2} & \equiv \frac {1}{2} \mu \frac { \partial \ln m^2}{ \partial \mu } = \frac { \mu }{m} \frac { \partial m}{ \partial \mu } \end {alinear} ¿Por qué nos referimos a ella como la renormalización grupo ecuación. ¿Forma una grupo ? Y si es así, ¿cuáles son los elementos del grupo, y cómo se puede ver que satisface los axiomas de un grupo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay realmente varias preguntas aquí: a) ¿Qué es el grupo de renormalización? Específicamente la ley de composición, etc. b) ¿Cómo se relaciona con esto la ecuación que dio el PO?
Respuesta corta
Es un semigrupo (ver referencias más abajo). La ecuación que escribiste, $$ \tag {1} \left [ \mu \frac { \partial }{ \partial \mu } + \beta \frac { \partial }{ \partial g} + m \gamma_ {m^2} \frac { \partial }{ \partial m} - n \gamma_d \right ] \Gamma ^{(n)}(\{p_i\};g,m, \mu ) = 0$$ no es "la ecuación de grupo de renormalización". Es la La ecuación de Callan-Symanzik que se deriva de las condiciones de renormalización (no puedo dibujar diagramas de Feynman, por lo que no puedo mostrar las reglas per se ).
Para una derivación de la ecuación de Callan-Symanzik del grupo de renormalización, véase:
- Kleinert Integrales del camino en la Mecánica Cuántica, Estadística, Física de Polímeros y Mercados Financieros específicamente el capítulo 10 "Grupo de Renormalización"; eprint
- John Cardy's notas de la conferencia sobre QFT capítulo 6
- Jan Louis'. notas de la conferencia sobre QFT sección 9
- Peskin y Schroeder Introducción a la Teoría Cuántica de Campos el capítulo 12.
Grupo de Derivación Ondulada de la Renormalización
Consideraremos la $ \phi ^4$ modelo. Queremos un "corte de impulso" $ \Lambda $ . Así que básicamente consideramos que el campo transformado de Fourier $ \phi (k)$ con componentes distintos de cero para $|k|< \Lambda $ . Escribimos
$$ \tag {2a}Z_{ \Lambda } = \int\exp\left (- \int\left [ \frac {1}{2}( \partial_ { \mu } \phi )^{2}+ \frac {1}{2}m^{2} \phi ^{2}+ \frac { \lambda }{4!} \phi ^4 \right ]\, \mathrm {d}^{n}x \right )[D \phi ]_{ \lambda }$$
donde
$$ \tag {2b} [D \phi ]_{ \Lambda } = \prod_ {|k|< \Lambda } \mathrm {d} \phi (k).$$
Ahora factorizamos $Z$ en dos componentes, las partes de "alta frecuencia" y "baja frecuencia". Queremos integrar las partes de "alta frecuencia", así que $Z$ sólo tiene una integral sobre las partes de "baja frecuencia". Tomamos $0<b \leq1 $ .
Ahora los "componentes de alta frecuencia" de $ \phi (k)$ corresponden a aquellos con $k$ satisfactoria $b \Lambda\leq |k| \leq\Lambda $ . Vamos a transformar $Z$ para depender sólo de las frecuencias $|k| \leq b \Lambda $ . Esta es nuestra transformación (o "ley de composición", si se quiere). Desde $0 \lt b \leq1 $ esta transformación no tiene un inverso... pero tiene una transformación de identidad cuando $b=1$ . Por lo tanto, para responder a su pregunta
¿Es el "grupo de renormalización" un grupo?
La respuesta es "no". Ahora, veamos cómo llevar a cabo esta transformación (aunque ligeramente ondulada, sólo para mostrar los hitos en el camino).
Etiquetar estos componentes que integraremos como
$$ \tag {3} \hat { \phi }(k) = \begin {cases} \phi (k) & \mbox {for $ b \Lambda\leq |k| \leq\Lambda $} \\ 0 & \mbox {otherwise} \end {cases}$$
Escribamos $ \tilde { \phi }(k)= \phi (k)- \hat { \phi }(k)$ . Entonces observa que la función de partición se convierte
$$ \tag {4} Z= \int D \tilde { \phi } \int D \hat { \phi } \exp\left (- \int\left [ \frac {1}{2}( \partial_ { \mu } \tilde { \phi }+ \partial_ { \mu } \hat { \phi })^{2}+ \frac {1}{2}m^{2}( \tilde { \phi }+ \hat { \phi })^{2}+ \frac { \lambda }{4!}( \tilde { \phi }+ \hat { \phi })^{4} \right ]\, \mathrm {d}^{n}x \right )$$
El argumento es que los términos que implican $ \tilde { \phi } \hat { \phi }$ no importa porque los componentes de los diferentes modos de Fourier son ortogonales. Así que integramos $ \hat { \phi }$ sobre $b \Lambda\leq |k| \leq\Lambda $ y nuestra función de partición cambia de
$$ \tag {5a} Z= \int D \tilde { \phi } \exp (-S[ \tilde { \phi }]) \int D \hat { \phi } \exp (-S[ \phi ])$$
argumentando
$$ \tag {5b} \exp (- \int\delta\mathcal {L}_{eff}( \phi )\, \mathrm {d}^{n}x) = \int D \hat { \phi } \exp (-S[ \phi ])$$
tenemos
$$ \tag {5c} Z= \int D \tilde { \phi } \exp (- \int [ \mathcal {L}( \tilde { \phi })+ \delta\mathcal {L}_{eff}( \phi )]\, \mathrm {d}^{n}x)$$
Esta transformación está parametrizada por $b$ y no puede ser deshecho. Pero podríamos tener $b=1$ que nos da nuestra función de partición original, y es asociativa, por lo que es un monoide (o un semigrupo, dependiendo de su preferencia de palabras).
Observación. Obsérvese que $ \delta\mathcal {L}( \phi ) \sim\mathcal {O}( \lambda )$ que son correcciones que compensan la eliminación de grandes $k$ componentes de $ \phi $ . (Fin del comentario)
Cómo obtener la ecuación de Callan-Symanzik
Esto está increíblemente ondulado. Como, resumiendo la historia de una relación de tres días entre un chico de 13 años y uno de 17 años que resultó en 6 muertes, Romeo y Julieta ) el nivel de la mano.
Así que no sigas lo que digo como el evangelio, es sólo para dar alguna intuición de lo que está pasando.
Básicamente, considera el mismo modelo, y deriva el $n$ -de correlación de puntos de la serie de perturbaciones. Es lógico que en estas circunstancias sea independiente de la escala de elección. Cuando imponemos estas condiciones de simetría, y luego consideramos un "cambio infinitesimal" en la escala, obtenemos una ecuación diferencial.
¡Pero no exigimos ningún cambio! Así que esta ecuación diferencial (que describe el cambio infinitesimal) debería desaparecer.
Observación. Una derivación adecuada habría requerido muchas páginas de manipulación. (Eso es lo que traté de hacer anoche.) Así que estén advertidos, esto es sólo uno intuición de lo que está pasando con el grupo de renormalización. Hay otros; ver, por ejemplo, el de Ticciati Teoría de Campo Cuántico para Matemáticos . Para una explicación/derivación más detallada, ver el libro de Peskin y Schroeder Introducción a la Teoría Cuántica de Campos . (Fin del comentario)
Referencias
Manfred Salmhofer's Renormalización (1999), pág. 63 y siguientes.
Giuseppe Benfatto Grupo de Renormalización (1995) pg 95 y siguientes.
Leo P. Kadanoff Curso de la Universidad de Chicago Diapositivas de la conferencia
Las transiciones de fase termodinámica, las teorías del campo medio y el (semi)grupo de renormalización de N Singh: Una introducción pedagógica". arXiv:1402.6837
"Conferencias sobre el método de grupo de renormalización funcional" de Janos Polonyi. CEJP 1 (2003) págs. 1 a 71; eprint
"Sobre la estructura del grupo de renormalización de Wilson" de Giuseppe Iurato. Revista Internacional de Álgebra 6 No. 23 (2012) 1121 - 1125; eprint
Lubos Motl's responder a al post "Teorema de Noether con semigrupo de simetría en lugar de grupo"
La respuesta de Alex Nelson es mucho mejor que la mía, pero no responde a tu pregunta en absoluto.
a) ¿Forma un grupo?
No, no es así. Ver abajo, para saber cómo "se ve" (pero no es) un grupo.
b) ¿Cuáles son los elementos del grupo?
La estructura de grupo es la siguiente. Siendo descuidado, la acción efectiva satisface la siguiente propiedad del semigrupo:
$$S_ \mathrm {eff}^{ \lambda_1 + \lambda_2 }=S_{ \mathrm {eff}}^{ \lambda_1 } \circ S_ \mathrm {eff}^{ \lambda_2 }$$
(esto dice lo mismo que $(AB)_{ij}=A_{ik}B_{kj}$ -el producto matriz habitual- adaptado a una estructura aditiva o $1$ -flujos paramétricos $ \varphi_ {s+t}= \varphi_s\circ \varphi_t )$ .)
Considere cierta escala, $M$ y el propagador regularizado para su teoría $G_{0M}$ que es lo que consideras sólo un momento $0<p<M$ . Para otras escalas $ \Lambda < \Lambda '$ que se encuentra entre $0$ y $M$ entonces la afirmación es que los propagadores de la transformación de Fourier satisfacen
$$ \hat G_{ \Lambda M}= \hat G_{ \Lambda \Lambda '}+ \hat G_{ \Lambda ' M}.$$
La importancia en la física de partículas se basa en lo siguiente. Denota la acción efectiva para el campo $ \phi $ con un momento en $[ \Lambda , \Lambda ']$ y la interacción (potencial) $V^ \Lambda $ por $S_ \mathrm {eff}^{ \Lambda , \Lambda '}( \phi ,V^ \Lambda )$ . Ahora, fíjese que $S_ \mathrm {eff}^{ \Lambda \Lambda '}(\, \cdot\ ,,\,V^ \Lambda )$ es un potencial $V'$ también. La demanda es
$$S_ \mathrm {eff}^{0,M}( \phi ;V^M )= S_ \mathrm {eff}^{0 \Lambda '}(\, \phi , V'),$$
que es
$$S_ \mathrm {eff}^{0,M}( \phi ;V^M )= S_ \mathrm {eff}^{0 \Lambda '}(\, \phi\ ,,\,S_ \mathrm {eff}^{ \Lambda \Lambda '}(\, \cdot\ ,,\,V^ \Lambda )).$$
Entonces, serías capaz de relacionar las funciones de Green para la interacción $V^M$ (para la teoría sobre el rango $[ \Lambda ,M]$ ) con la teoría en $[ \Lambda , \Lambda ']$ con el nuevo potencial.
