¿Asintótica errónea de la OEIS A000607 (número de particiones de un entero en partes primos)?

Question

Secuencia A000607 en la Enciclopedia Online de Secuencias de Números Enteros es el número de particiones de $n$ en partes principales. Por ejemplo, hay $5$ particiones de $10$ en partes principales: $10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 3 + 3 = 2 + 3 + 5 = 3 + 7 = 5 + 5.$ La OEIS da una expresión asintótica

$$A000607(n) \sim \exp\left(2 \pi \sqrt{\frac{n}{3 \log n}}\right). $$

Numéricamente, esto parece ser incorrecto incluso si se toma el logaritmo de ambos lados. Mi conjetura es que

$$\lim_{n \to \infty} \log\left(A000607(n)\right) \bigg/ \left( 2 \pi \sqrt{\frac{n}{3 \log n}} \right) \ne 1.$$

Véase el siguiente gráfico:

¿Cómo se puede probar o refutar esta conjetura?

Para más referencias, consulte http://oeis.org/A000607 .

Answer 1

Sus datos son compatibles con las estimaciones más refinadas demostradas por Vaughan en Ramanujan J. 15 (2008), 109-121. Sus teoremas 1 y 2 (junto con su (1.9)) revelan que $$\log(A000607(n)) = 2 \pi \sqrt{\frac{n}{3 \log n}}\left(1+\frac{\log\log n}{\log n}+O\left(\frac{1}{\log n}\right)\right). $$ Para $n=50000$ tenemos $$\log(A000607(n)) \approx 252.663 $$ $$ 2 \pi \sqrt{\frac{n}{3 \log n}} \approx 246.601$$ $$ 2 \pi \sqrt{\frac{n}{3 \log n}}\left(1+\frac{\log\log n}{\log n}\right)\approx 300.877$$ Por tanto, si se utiliza el término secundario que está presente en la fórmula de Vaughan, la aproximación (sin el término de error) no está por debajo sino por encima del valor real. También vemos que en este caso concreto el error es $\approx 48.214$ que es muy compatible con el hecho de que el término de error anterior es $O(1)$ veces $$ 2 \pi \sqrt{\frac{n}{3 \log n}}\cdot\frac{1}{\log n}\approx 22.792.$$

En resumen, su conjetura es probablemente falsa, mientras que Vaughan tiene razón. La anomalía numérica está causada por un término secundario que es bastante grande para el $n$ que has considerado.