Cómo no vamos a saber el $s$-medir el triángulo de Sierpiński?

Question

Estoy preparando una presentación que permitiría a nivel de escuela secundaria a los estudiantes a entender que la (auto-similitud) dimensión de un objeto no necesita ser un número entero. El primer ejemplo que vemos, es el triángulo de Sierpiński y con un poco de esfuerzo nos enteramos de que su dimensión es $$s := \log(3)/\log(2) \approx 1.585.$$ After this I thought that it would be nice to mention what the actual Hausdorff $s$-medir el triángulo es, pero todo lo que encontré fue medir las estimaciones para una determinada clase de Sierpiński alfombras y algunos las estimaciones del triángulo de Sierpiński.

Estoy literalmente con la sorpresa de que nosotros aparentemente no saber el valor exacto de Hausdorff $s$-medir el triángulo de Sierpiński! Especialmente ya que es una de concreto y simétrica del objeto. Para cumplir la idea de este sitio de alojamiento de preguntas en lugar de diatribas, formulo mi bafflement de la siguiente manera:

¿Por qué es el $s$-medir el triángulo de Sierpiński y otros auto-similar fractales tan duro para calcular?

Nos falta un enlace a algunos complicada maquinaria o es el problema conectado a un profundo problema que uno esperaría siguen sin resolverse?

Answer 1

La última que pude encontrar es

Móra, Péter, la Estimación de la medida de Hausdorff del triángulo de Sierpinski, Fractales 17, Nº 2, 137-148 (2009). ZBL1178.28007.

donde los mejores valores se dan como $$0.77 \le \mathscr{H}^s(\Lambda) \le 0.81794 .$$ Él también demuestra una superior estimación de $\mathscr{H}^s(\Lambda) \le 0.819161232881177$ de los que se dice "todo el mundo puede comprobar fácilmente".

También explica por qué esto es más difícil y más técnico que las razones se encuentran en los comentarios de aquí; por ejemplo, la evidente límite superior sólo da $\mathscr{H}^s(\Lambda) \le 1$.