A mi modo de ver, el más natural, ejemplo de
supervenience en matemáticas---y la más parecida a cómo
este término se utiliza en la filosofía de la mente, donde uno de los usos
para describir la relación de la orden superior de las propiedades,
como las funciones de la mente, a la parte inferior de la orden
propiedades, tales como las estructuras moleculares en el cerebro---es
proporcionada por el sentido en el que la teoría de conjuntos es visto como
formar una base para las matemáticas.
En ese punto de vista de los fundamentos de la matemática (y no
hay muchos otros puntos de vista), el conjunto teórico universo es visto
para proporcionar un fundamento ontológico de las matemáticas, en la
el sentido de que cada objeto matemático es considerado
fundamentalmente como un conjunto. Uno construye los números naturales
se establece como ordinales y, a continuación, los enteros y los racionales
y los reales en ninguno de los habituales conjunto teórico
las construcciones; un grupo es un conjunto con una operación binaria (un
conjunto) tener ciertas propiedades; un espacio topológico es un
establecer junto con un conjunto de subconjuntos de tener una cierta naturaleza;
y así sucesivamente. En este punto de vista, cada objeto matemático es
considerado como un conjunto y en el contexto de la teoría de conjuntos es llevado a
proporcionar un foro común en el que el tratamiento matemático
los objetos y las construcciones de lo que sería
diversos foros. La existencia de un foro común permite
nos sensatez para aplicar el conocimiento de un área de las matemáticas
los argumentos en un alejadas de la zona, y esto es
importante.
Por lo que la vista es que las características básicas de los reales o de
cualquier objeto matemático en última instancia se reducen a la teoría de conjuntos en
el sentido de que ese objeto es fundamentalmente un conjunto. Pero
mientras tanto, a pesar de esta reducción de las matemáticas para establecer
la teoría es importante foundationally (y no son el resultado
una serie de interesantes o incluso sorprendentes conclusiones sobre
ZFC-la independencia y la paradoja de la no-conjunto teórico
los contextos), el principal punto de vista es también que el conjunto de la teoría de la
la reducción es en gran medida irrelevante para el común de las matemáticas.
No queremos emprender la mayoría de los argumentos en la teoría de números
o la geometría algebraica o lo que sea con referencia constante
para el conjunto completo de la teoría de la reducción de la materia, para
ejemplo, al hablar de los "elementos" de $\pi$. Por lo tanto,
la matemática puede ser visto a reducir a la teoría de conjuntos, pero para
la mayoría de los de mayor nivel de matemáticas, esta reducción es
muy complicado o no se ve como la iluminación de la
interesante fenómeno matemático en la mano.
Esta relación parece muy similar a la relación entre nuestra actual comprensión de las características mentales y las estructuras moleculares en el cerebro. En principio, creemos que hay una reducción, pero que la reducción es muy complicado o no es particularmente iluminadora del fenómeno mental. Nos parecen cumplir con la siguiente analogía:
De orden superior, de orden Superior
mental características de los objetos matemáticos
y propiedades y relaciones
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estructura molecular de los conjuntos y la
del cerebro de membresía relación
Por lo que esta situación parece concordar exactamente con su
descripción de supervenience.
Adenda. Permítanme mencionar también otro sentido de supervenience, relacionado con el punto logrado por Gowers, en su segundo párrafo. La verdad de una declaración universal de $\forall n\ \varphi(n)$ en aritmética, dicen, se reduce a las instancias de $\varphi(0), \varphi(1),\varphi(2)$, y así sucesivamente. Pero por el teorema de Compacidad, no se puede demostrar la declaración universal tan sólo a partir de esas afirmaciones en primer orden la lógica. Por lo tanto, la verdad de $\forall n\ \varphi(n)$ parece sobrevienen en aquellos casos en los que el sentido de la pregunta. No podemos probar que una declaración universal demostrando cada caso por separado.
