Deje $h_d$ el número de $SL_{2}(\mathbb{Z})$ clases de primitivas binario cuadráticas formas de discriminante $d$. Es natural que para imponer la hipótesis de que la $d$ no está en la plaza, como hacemos a continuación.
En Carl Ludwig Siegel titulado La Medida Promedio de la Formas Cuadráticas Con Discriminante y Firma Siegel cita dos fórmulas dadas por Gauss en "disquisitiones Arithmeticae":
(a) $\displaystyle\sum\limits_{d= -N }^1 h_d \sim \frac{\pi}{18 \zeta(3)}N^{3/2}$
(b) $\displaystyle\sum\limits_{d = 1}^N h_d \log{\epsilon}_d \sim \frac{{\pi}^2}{18 \zeta(3)}N^{3/2}$
Donde $N > 0$ e $\epsilon_{d} = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d})$ donde $(t,u)$ es el más pequeño de solución positiva a las $t^2 - ud^2 = 4$.
(En realidad, Gauss restringe a la consideración de la formas cuadráticas binarias, incluso con medio coeficiente de correspondientemente llega a fórmulas diferentes, pero son esencialmente los mismos que los de arriba).
Siegel da dos pruebas de estas fórmulas: un procedimiento de Dirichlet del número de la clase fórmula, junto con el carácter de la suma de las estimaciones debido a la Poli y Landau, y uno a través de una red directa de conteo de puntos de argumento.
A la luz de los hechos que (yo) no he escuchado a nadie decir que Gauss fue el de descubrir el número de clase de la fórmula y (ii) el carácter de la suma de las estimaciones parecen fuera del alcance de Gauss del trabajo, me imagino que su argumento fue a través de la celosía de conteo de puntos. ¿Tenemos alguna evidencia de lo contrario? (He comprobado Gauss del libro y él no describe sus métodos de allí).
