¿Alguien conoce una construcción de cubiertas universales sin punto base?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad real (para simplificar). La construcción estándar de la cubierta universal $\varphi: \widetilde{X} \longrightarrow X$ implica la fijación de un punto base $p \in X$ y considerando las clases de homotopía de los caminos de $p$ a $x \in X$ .

¿Existe una construcción alternativa de $\varphi$ que evita la elección de un punto base?

Answer 1

Creo que los teóricos de la homotopía a menudo caen en el hábito de trabajar principalmente con espacios basados, incluso cuando no lo necesitan. Puede ser instructivo darse cuenta de cuándo el uso de un punto base es innecesario, incluso artificial. Pero también es importante darse cuenta de las partes del tema en las que el uso de un punto base es necesario. Esta (el tema de los espacios de cobertura universal) es una de esas partes.

Por "espacio de cobertura universal" de una variedad conectada $M$ Supongo que nos referimos a un colector simplemente conectado $\tilde M$ con mapa de cobertura $p:\tilde M\to M$ . (Por "simplemente conectada" quiero decir conectada y que tenga trivial $\pi_1$ para un punto base cualquiera. El espacio vacío no está conectado).

Siempre hay un espacio de cobertura universal, y para explicar cómo hacer uno solemos empezar eligiendo un punto $x\in M$ . Dos espacios de cobertura universales cualesquiera, independientemente de cómo estén construidos, están relacionados por un isomorfismo, es decir, un difeomorfismo que respeta la proyección a $M$ . Pero este isomorfismo no es único, porque para cualquier $(\tilde M,p)$ existe un grupo de isomorfismos $\tilde M\to \tilde M$ (es decir, las transformaciones de la cubierta), un grupo no trivial excepto en el caso de que $M$ está simplemente conectada.

Supongamos que hubiera una forma de hacer un espacio de cobertura universal $\tilde M$ que no depende de la elección del punto base (o de cualquier otra elección arbitraria), y supongamos que para $x\in M$ había un isomorfismo canónico entre este $\tilde M$ y el determinado por $x$ .

Pero esto implicaría que cuando usamos dos puntos $x\in M$ para hacer dos espacios de cobertura universal de $M$ entonces hay un isomorfismo canónico entre estos.

Cada clase de homotopía de caminos de $x$ a $y$ en $M$ (homotopía con puntos finales fijos) determina un isomorfismo entre los dos espacios de cobertura, y cada isomorfismo surge exactamente de una de estas clases de homotopía. Así que si tuviéramos un isomorfismo canónico tendríamos una clase de homotopía canónica de caminos de $x$ a $y$ . Y seguramente no lo hacemos.

(Eso no es riguroso, porque ¿qué significa "canónico"? Pero seguramente si uno tuviera una receta real para hacer un $\tilde M$ para $M$ sin hacer primero alguna elección arbitraria entonces para cualquier difeomorfismo $h:M_1\cong M_2$ la elección de las clases de trayectorias canónicas en $M_1$ estarían relacionados por $h$ a la elección correspondiente en $M_2$ . En particular, este sería el caso de una reflexión $S^1\to S^1$ que fija dos puntos $x$ y $y$ pero, por supuesto, no fija ninguna clase de caminos de $x$ a $y$ .)

Answer 2

Parte de 10.5.8 de Topología y Groupoides es, en una notación más habitual, esencialmente la siguiente, en la que $\sigma, \tau$ son los mapas de origen y de destino, $St_G x$ es $\sigma ^{-1} x$ , por $N$ es totalmente desconectado se entiende que $N(x,y)$ está vacío para $x \ne y$ y normalidad de $N$ en $G$ también significa que $N,G$ tienen el mismo conjunto de objetos:

Dejemos que $X$ sea un espacio que admite una cobertura universal, y sea $N$ sea un subgrupo normal totalmente desconectado del grupo fundamental $\pi_1( X) $ Entonces el conjunto de elementos del groupoide cotizante $\pi_1(X)/N$ puede recibir una topología tal que la proyección $$q = (\sigma, \tau) : \pi_1(X)/N \to X \times X$$ es un mapa de cobertura y para $x \in X$ el mapa de objetivos $\tau :St_{\pi_1( X)/N} \to X$ es el mapa de cobertura determinado por el subgrupo normal $N(x)$ de $\pi_1(X, x)$ .

Así que esto utiliza todos los puntos de $X$ y pone todas estas coberturas en un espacio de cobertura, lo que significa que no se hace una elección de punto base, sino que se utilizan todas las opciones. Además, $\pi_1(X)/N$ con esta topología es en realidad un grupo topológico.

Esta puede ser la forma óptima de responder a la pregunta.

Creo que se puede hacer un truco similar con la obtención de un paquete de $n$ -grupos de homotopía sobre $X$ si $X$ admite una cubierta universal, y que esto iba a estar en el libro de Dyer y Eilenberg sobre topología algebraica.

Answer 3

[ACTUALIZACIÓN: Como señala Tom Goodwillie, esto es mucho más complicado de lo necesario y malinterpreta la línea argumental que tenía en mente. Aun así, tiene algunas características interesantes, así que lo dejaré aquí].

Dejemos que $\mathcal{M}$ sea la categoría de las variedades suaves conectadas y de los mapas suaves, y sea $\mathcal{M}_1$ sea la subcategoría con los mismos objetos cuyos morfismos son los difeomorfismos, y sea $J\colon\mathcal{M}_1\to\mathcal{M}$ sea la inclusión. Supongamos que tenemos un functor $U\colon\mathcal{M}_1\to\mathcal{M}$ y un mapa natural $p\colon UM\to JM$ que es una cobertura universal para todos $M$ . Considere $S^1$ como el subespacio habitual de $\mathbb{C}$ y elige un punto $a\in p^{-1}\{1\}\subset U(S^1)$ . Para $z\in S^1$ podemos definir $\mu_z\in\mathcal{M}_1(S^1,S^1)$ por $\mu_z(u)=zu$ y luego definir $s(z)=U(\mu_z)(a)\in U(S^1)$ . Esto define una sección $s$ del mapa $p\colon U(S^1)\to S^1$ . Si hacemos suficientes suposiciones adicionales para asegurar que $s$ es continua, entonces llegamos a una contradicción.

Creo que, de hecho, no se necesitan supuestos adicionales, pero eso requiere un enfoque ligeramente diferente. Podemos identificar $S^1$ con $\mathbb{R}P^1$ y entonces tenemos una acción del grupo $G=PSL_2(\mathbb{R})$ . Dejemos que $H$ sea el subgrupo triangular superior, que es el estabilizador del punto base $1\in S^1$ . Para $h\in H$ hay un único $h'\colon U(S^1)\to U(S^1)$ con $ph'=hp$ y $h'(a)=a$ . El mapa $Fh$ no es necesario, obviamente, arreglar $a$ por lo que no es necesario que coincida con $h'$ pero debe tener $Fh=\phi(h)\circ h'$ para alguna transformación de la cubierta $\phi(h)$ . El grupo de transformaciones de la cubierta puede identificarse con $\pi_1(S^1,1)=\mathbb{Z}$ y $H$ actúa sobre esto de forma natural (independientemente de la supuesta existencia de $U$ ). Utilizando la conectividad de $H$ vemos que esta acción es trivial. Creo que se deduce que $\phi\colon H\to\mathbb{Z}$ es un homomorfismo, pero cualquier elemento $h\in H$ tiene $n$ 'th raíces para todos $n>0$ y esto obliga a $\phi$ sea trivial, por lo que $Fh=h'$ para todos $h$ . Esto demuestra que $Fh$ depende continuamente de $h$ para $h\in H$ . Además, se puede encontrar $h_z,k_z\in H$ tal que las entradas son funciones racionales de $z$ y $\mu_z=h_z\mu_{-1}k_z$ . De ello se desprende que $F(\mu_z)$ depende continuamente de $z$ excepto posiblemente en un número finito de valores de $z$ . Estas posibles excepciones pueden eliminarse mediante un argumento auxiliar con la estructura del grupo.

Answer 4

Si quieres algo functorial e independiente del punto base, una opción es la siguiente $\widetilde X$ haz de la mano sobre $X$ . Combina todos los espacios de cobertura dependientes del punto base en un solo aparato.

Dejemos que $C(X)$ sea el espacio de todos los mapas $I \to X$ , modulo homotopy-rel-end-points. Sea $p:C(X) \to X$ sea la evaluación en el punto final inicial de $I$ . Es fácil ver que $p^{-1}(x)$ es la cobertura universal habitual $\widetilde X_x$ construido usando el punto base $x\in X$ . Así que $p : C(X) \to X$ es un $\widetilde X$ haz de la mano sobre $X$ .

El encargo $$ X \; \mapsto \; (p : C(X) \to X) $$ es funcional en $X$ .

Answer 5

He aquí otro intento de precisar el significado de "canónico" en referencia a la respuesta de Tom.

1. Dejemos que $X$ sea un espacio agradable (conectado, localmente conectado por trayectorias y semilocalmente conectado).

2. Dejemos que $\pi_X$ sea el grupúsculo fundamental de $X$ : se trata de una categoría cuyos objetos son puntos $x\in X$ donde un morfismo $x\to y$ es una clase de homotopía de trayectoria que fija los puntos finales.

3. Dejemos que $U_X$ es el grupo de cubiertas universales: un objeto es una cubierta universal $X_1 \to X$ y un morfismo $X_1 \to X_2$ es un isomorfismo de cubiertas sobre el mapa de identidad de $X$ .

Existe un functor $$f:\pi_X\to U_X$$ (es decir, un homomorfismo de groupoides) dado por la construcción habitual de una cubierta universal. Entonces $f$ es una equivalencia de categorías (teoría del espacio de cobertura).

Dejemos que $$g: U_X \to \pi_X$$ sea su adjunto (que se define hasta el isomorfismo único).

Esto significa que para cualquier $\tilde X\in U_X$ con $g(\tilde X) = x\in X$ tenemos un isomorfismo $$ f(x) \cong \tilde X\, . $$

En otras palabras, una cubierta universal determina un punto base y un punto base determina una cubierta universal.